Determine as retas de declive m=2 que sao tangentes a circunferência de equacao 
+ 
= 5
meu professor de cálculo deu a dica que dá pra relacionar o diâmetro da circunferência com a perpendicularidade das retas m=2, mas nao consigo aplicar essa teoria
Soluções para a tarefa
Resposta: y = 2x+5 e y = 2x-5
Primeira solução:
Imagine que você tem uma reta r que é tangente no ponto T a uma circunferência de centro O. Isso quer dizer que OT é perpendicular a reta r.
Aplicando isso ao seu problema, sabemos que o segmento OT tem inclinação igual a -1/2. Assim, podemos determinar o ponto T fazendo a interseção da circunferência com a reta de inclinação -1/2 passando por O (origem). Temos:
y = -x/2
x²+y² = 5
Resolvendo o sistema temos
x² + x²/4 = 5
x = +2 ou x = -2 ⇒ y = -1 ou y = 1
Assim, o sistema tem as soluções (2,-1) e (-2,1)
Portanto, a solução do problema são as retas com inclinação 2 passando por esses 2 pontos:
Reta passando por (2,-1)
y = 2x + n
-1 = 4 + n ⇒ n = -5
y = 2x -5
Reta passando por (-2,1)
y = 2x+ n
1 = -4 + n ⇒ n = 5
y = 2x+5
Segunda solução:
Também da pra fazer na "força bruta". Sabemos que as retas procuradas tem equação y = 2x + n. Queremos encontrar os valores de n de forma que o sistema
x²+y² = 5
y = 2x+n
tenha exatamente uma solução.
Resolvendo o sistema temos:
x² + (2x+n)² = 5
5x² + 4nx + n² - 5 = 0
Para haver único x, o discriminante da equação deve ser nulo:
Δ = b²-4ac = 0
16n² - 4*5 (n²-5) = 0
16n² - 20n² + 100 = 0
4n² = 100
n² = 25
n = +5 ou n = -5
Assim, temos as duas retas: y = 2x +5 e y = 2x-5
Duas retas são perpendiculares se suas inclinações m e M satisfazem
Mm = -1
Assim, se uma reta tem inclinação m =2, a reta perpendicular tem inclinação M = -1/m = -1/2
Alem disso ela passa por O e por T. Não conhecemos T, mas O é a origem nesse caso, então essa reta passa em (0,0). Daí n = 0