Question

Determine as raízes reais da equação biquadradas abaixo:

a)
${x}^{4} - 13 {x}^{2} + 36 = 0$
b)
${x}^{4} - 3 {x}^{2} - 4 = 0$
c)
$4 {x}^{4} = 37 {x}^{2} - 9 = 0$





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Answer 1

Resposta:

a ) x =  {- 3 ; - 2 ; 2 ; 3 }

b )  x =  { - 2 ; 2 }

c )   x = { - √ 37 / 2   ;  0   ;  √ 37 / 2  }

Explicação passo-a-passo:

Pedido:

Determine as raízes reais da equação biquadradas abaixo:

a)  x^4 - 13 x² + 36 = 0  

b)  x^4 - 3 x² - 4 = 0

c)  4 x^4 = 37 x² = 0  

Resolução :

a)  x^4 - 13 x² + 36 = 0  

Fazer mudança de variável de " x "  para " t "

t = x²

t² - 13 t + 36 = 0

a =   1

b = - 13

c =  36  

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = (- 13 ) ² -  4 * 1 * 36

⇔  Δ = 169 - 144

⇔  Δ = 25

√Δ = 5

t' = (- ( -13 ) + 5 ) / ( 2 * 1 )

t' = 9

t'' = (- ( -13 ) - 5 ) / 2

t'' = ( 13 - 5 ) / 2

t'' =  4

Análise para t = 9

Voltando a mudar de variável, vamos ver se alguma destas raízes serve

9 = x²

⇔ x = + √9  ∨  x = - √9

⇔ x = 3  ∨  x = - 3

Verificação se 3  serve para raiz na equação original

x^4 - 13 x² + 36 = 0    

3^4 - 13 * 3² + 36 = 0

⇔ 81 - 117 + 36 = 0

⇔ 81 - 117 + 36 = 0

⇔ 0 = 0           verdade universal ;  “ 3 “ serve para raiz

Verificação se - 3 serve para raiz na equação original

x^4 - 13 x² + 36 = 0

( - 3 )^4 - 13 * ( - 3² ) + 36 = 0

⇔ 81  -117 + 36 =  

⇔ 0 = 0            verdade universal ; “- 3 “ serve para raiz

Análise para t = 4

Voltando a mudar de variável vamos ver se alguma destas raízes serve

4 = x²

⇔ x = + √4      ∨   x =  -√4

⇔ x = 2            ∨   x =  - 2

Verificação se 2 serve para raiz na equação original

x^4 - 13 x² + 36 = 0

2^4 - 13 * 2² + 36 = 0

⇔ 16 - 52 + 36 = 0

⇔  52 - 52 = 0  

⇔  0 = 0           verdade universal ; “ 2 “ serve para raiz

Verificação se "- 2 " serve para raiz na equação original

x^4 - 13 x² + 36 = 0

( - 2 )^4 - 13 * ( - 2)² + 36 = 0

⇔ 16 - 52 +36 = 0

⇔  52 - 52 = 0  

⇔  0 = 0           verdade universal ; “- 2 “ serve para raiz

b)  x^4 - 3 x² - 4 = 0  

Fazer mudança de variável de " x "  para " t "

t = x²

t² - 3 t - 4 = 0  

a =    1

b =  - 3  

c =  - 4

Δ = ( - 3 )² - 4 * 1 * ( - 4 )

Δ = 9 + 16 = 25

√Δ = √25 = 5

t' = ( - ( - 3 ) + 5 ) / ( 2 * 1 )

t' = 8 / 2 = 4

t'' = ( - ( - 3 ) - 5 ) / 2

t'' = ( 3 - 5 ) / 2

t'' =  - 2 / 2 = - 1

Análise para t = 4

Voltando a mudar de variável vamos ver se alguma destas raízes serve

t = x²

⇔ x =  + √4      ∨        x =  - √4

⇔ x =  2     ∨        x =  - 2

Já foi verificado na alínea a) que 2  e  - 2 servem para raízes da equação

inicial.        

Análise para t = - 1  

Voltando a mudar de variável vamos ver se alguma destas raízes serve

 t = x²

- 1 = x²

⇔ x = + √ ( - 1 )      ∨   x = - √ ( - 1 )

Como estamos a operar no conjunto dos números reais, neles não há

lugar para raiz quadrada de números negativos.

Deste modo t = - 1 não conduz a nenhuma raiz utilizável na equação original.

c )  4 x^4 = 37 x² = 0  

Esta forma de apresentar também conduz a uma equação biquadrada.

4 x^4 = 37 x²

Passando 37x² para o primeiro membro da equação, trocando o sinal

⇔   4 x^4 - 37 x² = 0

Não vamos necessitar de fazer mudança de variável pois bastará por em evidência x² para passarmos a trabalhar, no máximo, com equações de grau 2.

⇔ 4 x² * x ²- 37 x² = 0

⇔ x² * ( 4 x² - 37 ) = 0

Um produto é nulo quando, pelo menos, um dos fatores é nulo.

⇔ x² = 0   V  4 x² - 37 = 0

⇔ x = 0     V  4 x² - 37 = 0

na segunda equação passar "- 37 " para segundo membro, trocando sinal

e  

depois dividir por 4 , ambos os membros da equação

⇔ x = 0     V  4 x² =  37

⇔ x = 0     V  4 x² / 4=  37 / 4

⇔ x = 0     V   x² =  37 / 4

Extrair a raiz quadrada em ambos membros desta segunda equação

⇔ x = 0     V   √x² = + √ ( 37 / 4)      ∨ √x² = - √ ( 37 / 4 )

⇔ x = 0     V    x = + √ 37 / √4        ∨       x = - √ 37 / √4

⇔ x = 0     V    x  =  √ 37 / 2        ∨       x = - √ 37 / 2  

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Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir      (⇔) equivalente a     ( V )   ou    

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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.