Question

Determine as raízes ou zeros da função quadrática caso exista:

A) f(x)= -x² -7x+8

B) f(x)=5x-1+x²

C) f(x)=x²+5x

D) f(x)=x²+8x

E) f(x)=3x²+9x-1

F) f(x)=12x²-20x+1

G) f(x)=x²+10x-10​

Answer 1

✔️ Verificam-se esses resultados, referentes às raízes reais:

A) S = {-8, 1}.

B) S = {0,193, -5,193}.

C) S = {0, -5}.

D) S = {0, -8}.

E) S = {0,107, -3,107}.

F) S = {1,615, 0,051}.

G) S = {0,916, -10,916}.

Função de 2.º grau é aquela de forma f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0, em que se deve obter as raízes reais, se existentes.

Pode ter zero, uma ou duas raízes reais, e isso verifica-se por meio do valor do discriminante, representado pela letra grega Delta (∆):

• $\large\displaystyle\Delta \: < \: 0 \: \Rightarrow \: \bold{zero} \: ra\acute{\imath}zes \: reais$;
• $\large\displaystyle\Delta \: = \: 0 \: \Rightarrow \: \bold{uma} \: raiz \: real$;
• $\large\displaystyle\Delta \: > \: 0 \: \Rightarrow \: \bold{duas} \: ra\acute{\imath}zes \: reais$

Aplica-se a fórmula de Bhaskara ou o método da soma e produto para se obter as raízes reais. Quando o exercício não diz a fórmula, é por escolha:

Por Bhaskara

A)

$\large\displaystylef(x) \: = -x^2 \: - \: 7x \: + \: 8 \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x \: = \: \dfrac{-(-7) \: \pm \: \sqrt{(-7)^2 \: - \: 4(-1)(8)}}{2(-1)} } \\ \\ \\ \\ \large\displaystylex \: = \: \dfrac{7 \: \pm \: 9}{-2} \\ \\ \\ \\ \large\displaystylex_{1} \: = \: \dfrac{7 \: + \: 9}{-2} \: = \bold{-8} \\ \\ \\ \\ \large\displaystylex_{2} \: = \dfrac{7 \: - \: 9}{-2} \: = \bold{1}$

B)

$\large\displaystylef(x) \: = \: 5x \: - \: 1 \: + \: x^2 \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x \: = \: \dfrac{-5 \: \pm \: \sqrt{(5)^2 \: - \: 4(1)(-1)}}{2(1)} } \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x \: = \: \dfrac{-5 \: \pm \: \sqrt{29}}{2} } \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x_{1} \: = \: \dfrac{-5 \: + \: \sqrt{29}}{2} \: \cong \: \bold{0,193} } \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x_{2} \: = \: \dfrac{-5 \: - \: \sqrt{29}}{2} \: \cong \: \bold{-5,193} }$

C)

$\large\displaystylef(x) \: = \: x^2 \: + \: 5x \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x \: = \: \dfrac{-5 \: \pm \: \sqrt{(5)^2 \: - \: 4(1)(0)}}{2(1)} } \\ \\ \\ \\ \large\displaystylex \: = \: \dfrac{-5 \: \pm \: 5}{2} \\ \\ \\ \\ \large\displaystylex_{1} \: = \: \dfrac{-5 \: + \: 5}{2} \: = \: \bold{0} \\ \\ \\ \\ \large\displaystylex_{2} \: = \: \dfrac{-5 \: - \: 5}{2} \: = \: \bold{-5}$

D)

$\large\displaystylef(x) \: = \: x^2 \: + \: 8x \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x \: = \: \dfrac{-8 \: \pm \: \sqrt{(8)^2 \: - \: 4(1)(0)}}{2(1)} } \\ \\ \\ \\ \large\displaystylex \: = \: \dfrac{-8 \: \pm \: 8}{2} \\ \\ \\ \\ \large\displaystylex_{1} \: = \: \dfrac{-8 \: + \: 8}{2} \: = \: \bold{0} \\ \\ \\ \\ \large\displaystylex_{2} \: = \: \dfrac{-8 \: - \: 8}{2} \: = \: \bold{-8}$

E)

$\large\displaystylef(x) \: = \: 3x^2 \: + \: 9x \: - \: 1 \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x \: = \: \dfrac{-9 \: \pm \: \sqrt{(9)^2 \: - \: 4(3)(-1)}}{2(3)} } \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x \: = \: \dfrac{-9 \: \pm \: \sqrt{93}}{6} } \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x_{1} \: = \: \dfrac{-9 \: + \: \sqrt{93}}{6} \: \cong \: \bold{0,107} } \\ \\ \\ \\ \large\displaystylex_{2} \: = \: \dfrac{-8 \: - \: 8}{2} \: \cong \: \bold{-3,107}$

F)

$\large\displaystylef(x) \: = \: 12x^2 \: - \: 20x \: + \: 1 \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x \: = \: \dfrac{-(-20) \: \pm \: \sqrt{(-20)^2 \: - \: 4(12)(1)}}{2(12)} } \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x \: = \: \dfrac{20 \: \pm \: \sqrt{352}}{24} } \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x_{1} \: = \: \dfrac{20 \: + \: \sqrt{352}}{24} \: \cong \: \bold{1,615} } \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x_{2} \: = \: \dfrac{20 \: - \: \sqrt{352}}{24} \: \cong \: \bold{0,051} }$

G)

$\large\displaystylef(x) \: = \: x^2 \: + \: 10x \: - \: 10 \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x \: = \: \dfrac{-10 \: \pm \: \sqrt{(10)^2 \: - \: 4(1)(-10)}}{2(1)} } \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x \: = \: \dfrac{-10 \: \pm \: \sqrt{140}}{2} } \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x_{1} \: = \: \dfrac{-10 \: + \: \sqrt{140}}{2} \: \cong \: \bold{0,916} } \\ \\ \\ \\ \large\displaystyle\text{ x_{2} \: = \: \dfrac{-10 \: - \: \sqrt{140}}{2} \: \cong \: \bold{-10,916} }$

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