Question

Determine as raízes imaginarias das seguintes equações: a) X² + 16 = 0 b) 2x² + 10 = 0 c) 2x² - 6x + 9 =0 d) X² - 10x + 34 = 0

Answer 1

❑  A questão necessita de conhecimentos sobre equações do 2º grau (completa e incompleta) e números complexos. Antes de solucionar a questão, vamos aos conceitos necessários.

❑  Equação do segundo grau

• É uma equação cujo maior expoente na incógnita é 2. Geralmente, segue o modelo:

$\boxed{ax^{2} +bx + c = 0}$

• Sendo a, b e c coeficientes da equação.

• Caso o b, o c ou ambos sejam 0, a equação é considerada incompleta.
• Lembre que é condição para a existência de uma equação do segundo grau:

$\red \boxed{\boxed{ a \neq 0}}$

❑ Como solucionar uma equação do segundo grau?

• A forma mais comum de fazer isso é através da fórmula de Bhaskara, enunciada por:

$\boxed{\boxed{x = \dfrac{-b \pm\sqrt{\Delta} }{2a} }}$

➯ Sendo o discriminante ($\Delta$) dado por:

$\boxed{\Delta = b^{2} -4ac}$

➯ Somente a partir do cálculo desse discriminante, podemos chegar a algumas conclusões:

• Se $\Delta>0$, temos duas raízes reais

• Se $\Delta<0$, não temos raízes reais, apenas raízes imaginárias (raízes complexas, mas não reais).

• Se $\Delta=0$, temos uma raiz real.

❑ O que são números complexos?

• São números da forma:

$\boxed{\boxed{\boxed{Z = a + bi}}}$

Em que:

• a é a parte real

• b é a parte imaginária

• i é a unidade imaginária

➯ O que é unidade imaginária?

• O número i é chamado de unidade imaginária, e vale:

$\boxed{i = \sqrt{-1}}$

• Note que:

$i^{2} = - 1$

❑ Resolução da questão

a) x² + 16 = 0

x² = - 16

$x = \pm\sqrt{-16}$

$x = \pm\sqrt{-1 \cdot 16}$

• Lembre da seguinte propriedade de radiciação:

• $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Aplicando:

$x = \pm\sqrt{-1} \cdot \sqrt{16}$

Lembre que i = - 1:

$x =\pm i \cdot 4$

$\boxed{x =\pm 4i}$

b) 2x² + 10 = 0

2x² = - 10

x² = -10/2

x² = - 5

$x =\pm \sqrt{-5}$

$x =\pm \sqrt{-1} \cdot \sqrt{5}$

$x =\pm i\cdot \sqrt{5}$

$\boxed{x =\pm \sqrt{5}i}$

c) 2x² - 6x + 9 =0

Note que:

a = 2

b = - 6

c = 9

Calculando o discriminante:

$\Delta = (-6)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9$

$\Delta = 36 - 72$

$\Delta = - 36$

$x = \dfrac{-(-6) \pm\sqrt{-36} }{2\cdot 2}$

$x = \dfrac{+6 \pm\sqrt{-1} \cdot \sqrt{36} }{4}$

$x = \dfrac{+6 \pm6i }{4}$

$\boxed{x' = \dfrac{3 +3i }{2}}$

$\boxed{x'' = \dfrac{3-3i }{2}}$

d) x² - 10x + 34 = 0

Note que:

a = 1

b = - 10

c = 34

$\Delta = (-10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 34$

$\Delta = 100 - 136$

$\Delta = - 36$

$x = \dfrac{-(-10) \pm\sqrt{-36} }{2}$

$x = \dfrac{+10 \pm\sqrt{-36} }{2}$

$x = \dfrac{10 \pm\sqrt{-1} \cdot \sqrt{36} }{2}$

$x = \dfrac{10 \pm6i}{2}$

$\boxed{x' = 5 + 3i}$

$\boxed{x" = 5 - 3i}$

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