Question

Determine as raízes e os vértices das funções: a) y= -8x ao quadrado + 32 b) y=x ao quadrado + 12x c) x ao qudrado + 2x-15

Answer 1

Uma função do segundo grau ou quadrática, possui a seguinte estrutura:

$y=ax^{2}+bx+c$

Onde a e b são chamados de coeficientes e c é o termo independente.

As coordenadas do ponto referente ao vértice da função é obtido pelas fórmula:

$X_{v}=-\dfrac{b}{2a}\\ \\ \\ Y_{v}=-\dfrac{\Delta}{4a}$


E para obter as raízes, basta igualar a função a 0.

Calculando as raízes e vértices:

$a)\ y=-8x^{2}+32\\ \\ -8x^{2}+32=0\\ \\ -8x^{2}=-32\ \ (-1)\\ \\ 8x^{2}=32\\ \\ x^{2}=\dfrac{32}{8}\ \Rightarrow x^{2}=4\ \Rightarrow x=\pm\sqrt{4}\ \Rightarrow x=\pm\ 2\ \Rightarrow \\ \\ x_{1}=2\ \ e\ \ x_{2}=-2$

As raízes desta função são -2 e 2.

O vértice é:

$X_{v}=-\dfrac{b}{2a}\ \Rightarrow X_{v}=-\dfrac{0}{2a}=0\\ \\ \\ Y_{v}=-\dfrac{\Delta}{4a}\ \Rightarrow -\dfrac{b^{2}-4\cdot a\cdot c}{4\cdot a}\ \Rightarrow -\dfrac{0^{2}-4\cdot \left(-1\right)\cdot 32}{4\cdot \left(-1\right)}\ \Rightarrow\\ \\ \\ Y_{v}=-\dfrac{\not 4\cdot 32}{-\not 4}\ \Rightarrow -\left(-32\right)=32$

Portanto, o vértice é V(0,32)


$b)\ y=x^{2}+12x$

Como é uma equação não possui o termo independente c, para resolver, igualamos a 0 e colocamos o x em evidência:

$x^{2}+12x=0\\ \\ x\left(x+12\right)=0\\ \\ x_{1}=0\\ \\ x_{2}\ \Rightarrow x+12=0\ \Rightarrow x=-12$

As raízes são 0 e -12

O vértice é:

$X_{v}=-\dfrac{b}{2a}\ \Rightarrow X_{v}=-\dfrac{12}{2\cdot 1}=-6\\ \\ \\ Y_{v}=-\dfrac{\Delta}{4a}\ \Rightarrow -\dfrac{b^{2}-4\cdot a\cdot c}{4\cdot a}\ \Rightarrow -\dfrac{12^{2}-4\cdot \left(1\right)\cdot 0}{4\cdot \left(1\right)}\ \Rightarrow\\ \\ \\ Y_{v}=-\dfrac{144-0}{4}=-\dfrac{144}{4}=-36$

Portanto, o vértice é V(-6,-36)


$c)\ y=x^{2}+2x-15$

Como a equação é completa (possui todos os coeficientes e o termo independente), vamos encontrar as raízes usando a fórmula de Bháskara:

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2a} \\ \\ \\ x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)}}{2\cdot 1} \\ \\ \\ x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+60}}{2} \\ \\ \\ x=\dfrac{-2\pm\sqrt{64}}{2}\ \Rightarrow x=\dfrac{-2\pm8}{2}\ \Rightarrow \\ \\ \\ x_{1}=\dfrac{-2+8}{2}\ \Rightarrow x_{1}=\dfrac{6}{2}=3\\ \\ \\ x_{2}=\dfrac{-2-8}{2}\ \Rightarrow x_{2}=\dfrac{-10}{2}=-5$

As raízes são -5 e 3.

O vértice é:


$X_{v}=-\dfrac{b}{2a}\ \Rightarrow X_{v}=-\dfrac{2}{2\cdot 1}=-1\\ \\ \\ Y_{v}=-\dfrac{\Delta}{4a}\ \Rightarrow -\dfrac{b^{2}-4\cdot a\cdot c}{4\cdot a}\ \Rightarrow -\dfrac{2^{2}-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)}{4\cdot \left(1\right)}\ \Rightarrow\\ \\ \\ Y_{v}=-\dfrac{4+60}{4}=-\dfrac{64}{4}=-16$


Portanto, o vértice é V(-1,-16)


Há uma forma mais simples de calcular o vértice:
Para Xv somamos as raízes e dividimos por dois.
Para Yv, substituímos o valor do Xv pelo x na equação.

Para o vértice da letra a) teremos:

$X_{v}=\dfrac{-2+2}{2}=\dfrac{0}{2}=0\\ \\ \\ Y_{v}=-8\cdot 0+32=32\\ \\ V\left(0,32\right)$


Para o vértice da letra b) teremos:

$X_{v}=\dfrac{0+\left(-12\right)}{2}=\dfrac{-12}{2}=-6\\ \\ \\ Y_{v}=\left(-6\right)^{2}+12\cdot \left(-6\right)=36-72=-36\\ \\ V\left(-6,-36\right)$


Para o vértice da letra c) teremos:

$X_{v}=\dfrac{-5+3}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1\\ \\ \\ Y_{v}=\left(-1\right)^{2}+2\cdot \left(-1\right)-15=1-2-15=-16\\ \\ V\left(-1,-16\right)$