Question

Determine as raízes de:

h(x) = tg (2x) + sec (2x)

Answer 1

Caso tenha problemas para visualizar pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador:  https://brainly.com.br/tarefa/8104641

_______________


Determinar as raízes da função

$\mathsf{h(x)=tg(2x)+sec(2x)}\\\\ \mathsf{h(x)=\dfrac{sen(2x)}{cos(2x)}+\dfrac{1}{cos(2x)}}\\\\\\ \mathsf{h(x)=\dfrac{sen(2x)+1}{cos(2x)}\qquad\quad(i)}$


•   Encontrando o domínio de $\mathsf{h(x)}:$

$\mathsf{cos(2x)\ne 0}\\\\ \mathsf{2x\ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi}\\\\\\ \mathsf{x\ne \dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{\pi}{2}+k\pi \right)}\\\\\\ \mathsf{x\ne \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\qquad\quad\checkmark}$


onde $\mathsf{k}$ é inteiro.


Em outras palavras, $\mathsf{x}$ não pode assumir valores neste conjunto:

$\mathsf{A=\left\{\ldots,\,\dfrac{\pi}{4},\,\dfrac{3\pi}{4},\,\dfrac{5\pi}{4},\,\dfrac{7\pi}{4},\,\ldots,\,\dfrac{(2n+1)\pi}{4},\,\ldots\right\}}$


onde $\mathsf{n}$ é inteiro; o que significa que $\mathsf{x}$ não pode ser um múltiplo ímpar de $\mathsf{\dfrac{\pi}{4}.}$


Portanto, o domínio de $\mathsf{h}$ é

$\mathsf{Dom(h)=\mathbb{R}\setminus A.}$

________


Encontrar as raízes de $\mathsf{h}$ é equivalente a resolver esta equação, onde o conjunto universo é o domínio da função:

$\mathsf{h(x)=0}\\\\ \mathsf{\dfrac{sen(2x)+1}{cos(2x)}=0\qquad\qquad\textsf{onde }\mathsf{U=Dom(h)}}\\\\\\ \mathsf{sen(2x)+1=0}\\\\ \mathsf{sen(2x)=-1}$


Então, devemos ter

$\mathsf{2x=-\,\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{1}{2}\cdot \left(-\,\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi\right)}\\\\\\ \mathsf{x=-\,\dfrac{\pi}{4}+k\pi}$

$\mathsf{x=-\,\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}+k\pi}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2}+k\pi}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{(4k-1)\pi}{4}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{(4k-2+1)\pi}{4}}$

$\mathsf{x=\dfrac{\big[2(2k-1)+1\big]\pi}{4}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{(2m+1)\pi}{4}}$


onde $\mathsf{m,\,k}$ são ambos inteiros, e $\mathsf{m=2k-1.}$


Observe que esses valores que obtivemos estão todos fora do domínio de $\mathsf{h}.$


Sendo assim, a equação

$\mathsf{h(x)=0}$

não possui soluções reais.


A função $\mathsf{h}$ não possui raízes reais.


Bons estudos! :-)


Tags:   função trigonométrica raiz domínio condição de existência equação tangente tan tg secante sec seno sen sin cosseno cos trigonometria álgebra