Question

Determine as raízes das equações fracionárias abaixo. Determine antes a condição de existência de cada uma.
A) x-3/2 + 1/x = -3
B) x/x+1 - x/1-x = 8/3
C) 2/x^2 -1 - x/x-1 = 2
D) 1/3-x + 6/x^2 -9 = 2/x
E) 2x^2 + 2/x^2 -1 - 2/x-1 = x -2/x+1

Answer 1

A) x - 3 + 1 = - 3

     2        x

Condição de existência: x ≠ 0

Resolução:

x.(x - 3) + 2.1 = 2x.(-3)

   2x        2x        2x

x² - 3x + 2 = - 6x

x² - 3x + 6x + 2 = 0

x² + 3x + 2 = 0

S = {1, 2}

B)   x   -  x   = 8

   x + 1   1 - x     3

condições de existência: x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ - 1

1 - x ≠ 0 ⇒ - x ≠ - 1 ⇒ x ≠ 1

Resolução:

3(1 - x).x - 3(1 + x).x = (1 + x)(1 - x).8

              3(1 + x).(1 - x)

3x - 3x² - 3x - 3x² = 8 - 8x²

- 6x² + 8x² - 8 = 0

2x² - 8 = 0

2x² = 8

x² = 4

x = √4

x = 2 e x = - 2

S = {- 2, 2}

C)  2   -   x   = 2

   x² - 1   x - 1

condições de existência: x² - 1 ≠ 0 ⇒ x² ≠ 1 ⇒ x ≠ 1

x - 1 ≠ 0 = x ≠ 1

Resolução:

(x - 1).2 - (x² - 1).x = (x² - 1)(x - 1).2

   (x² - 1)(x - 1)           (x² - 1)(x - 1)

2x - 2 - x³ + x = 2x³ - 2x² - 2x + 2

- x³ - 2x³ + 2x² + 2x + 2x + x - 2 - 2 = 0

- 3x³ + 2x² + 5x - 4 = 0

D)  1   +    6   = 2

   3 - x    x² - 9     x

condições de existência: x² - 9 ≠ 0 ⇒ x² ≠ 9 ⇒ x ≠ 3 e x ≠ - 3

3 - x ≠ 0 ⇒ x ≠ 3

x ≠ 0

Resolução:

(x² - 9)x + x(3 - x).6 = 2.(3 - x)(x² - 9)

                 (3 - x)(x² - 9)x

x³ - 9x - 6x² + 18x = 2.(3x² - 27 - x³ + 9x)

x³ - 9x - 6x² + 18x = 6x² - 54 - 2x³ + 18x

x³ + 2x³ - 6x² - 6x² - 9x + 18x - 18x + 54 = 0

3x³ - 12x² - 9x + 54 = 0

E) 2x² + 2 -  2  = x - 2

    x² - 1      x - 1   x + 1

condições de existência: x² - 1 ≠ 0 ⇒ x² ≠ 1 ⇒ x ≠ 1

x - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ - 1

Resolução:

(x - 1)(x + 1).(2x² + 2) - (x² - 1)(x + 1).2 = (x² - 1)(x - 1).(x - 2)

                        (x² - 1)(x - 1)(x + 1)

(x² - 1)(2x² + 2) - (x³ + x² - x - 1).2 = (x² - 1)(x² - 3x + 2)

2x⁴ + 2x² - 2x² - 2 - 2x³ - 2x³ + 2x + 2 = x⁴ - 3x³ + 2x² - x² + 3x - 2

2x⁴ - x⁴ - 4x³ + 3x³ - x² + 2x - 3x + 2 = 0

x⁴ - x³ - x² - x + 2 = 0

Answer 2

Resposta:

(A) x-3/2 + 1/x = -3

x² - 3x + 2 = -6x

x² + 3x + 2 = 0

Δ = b² - 4.a.c

Δ =  9 - 4.2 = 1      (Com um Δ > 0 , 2 raízes reais e distintas)

y' = -2

y'' = -1

Agora utilizaremos uma forma mais resumida, simplificando as expressões, calculando o delta e encontrando as raízes (caso existam).

(B)  (x/x+1) + (1-x/1-x) = 8/3

3x + 3x + 3 = 8x + 8

2x = -5

x = - 5/2

(C) 2/x² - x/x-1 = 2

O denominador comum entre x² e x-1 = x²(x-1)

2x - 2 - 2x³ = 2x³ - 2x²

4x³ - 2x² - 2x + 2 = 0

2x² . (x - 1) - 2(x - 1) = 0

(x - 1) . (2x² -2) = 0

Se algum dos termos da equação for igual a 0, isso será a raiz da equação.

(x - 1) = 0

x = 1

(2x² -2 ) = 0

x² = 1

x' e x'' = 1

(D) (1/3-x) +6/(x²-9) = 2/x

- 1/(x-3) + 6/(x+3).(x-3) = 2/x

Simplificando a equação:

-1.(x+3)(x) + 6.x = 2(x²-9)

-x² -3x + 6x = 2x² - 18

x² - 3x - 18 = 0

Δ = 9 + 72 = 81 ( Δ > 0 , duas raízes reais e distintas)

y'= - 3

y''= 6

(E) (2x²+2)/(x²-1)-2/(x-1)=x-2/x+1

(x²-1) = (x+1)(x-1)

(2x²+2)/(x+1)(x-1) - 2/(x-1) = x-2/x+1

(2x²+2) - 2.(x+1) = (x-2)(x-1)

2x² + 2 - 2x + 2 = x² - 2x - x + 2

x² + x + 2 =0

Δ = 1 - 4.2 = -7 (Δ < 0 , não possui raízes reais)