Question

Determine as raízes da esquação: x⁴–3x³+4x²–2x=0

Answer 1

$\text x^4-3\text x^3+4\text x^2-2\text x=0$

colocando x em evidência :

$\text x(\text x^3-3\text x^2+4\text x-2)=0$

vamos reescrever da seguinte forma :

$\text x(\text x^3-\text x^2-2\text x^2+2\text x+2\text x-2)=0$

colocando x² em evidência nos dois primeiros termos, colocando -2x em evidência no terceiro e quarto termo  e colocando 2 em evidência nos dois últimos termos :

$\text x[\text x^2(\text x-1)-2\text x(\text x-1)+2(\text x-1) ]=0$

colocando x-1 em evidência :

$\text x[(\text x-1)(\text x^2-2\text x+2)]= 0$

Portanto :

${\text x = 0 }$

$\text x-1 = 0 \to \text x= 1$

$\displaystyle \text x^2-2\text x+2 = 0 \\\\\ \Delta = (-2)^2-4.1.2 \\\\ \Delta = 4-8 \\\\ \Delta = -4 \to \Delta < 0 \ \text{(N{\~a}o pertence aos reias)} \\\\ \text x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{\Delta}}{2.1} \to \text x = \frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}\to \text x= \frac{2\pm2\text i}{2} \\\\\\ \text x = 1+\text i , \ \text x = 1-\text i$

Raízes Reais :

$\huge\boxed{\ \text x = 0 \ ; \ \text x =1\ }\checkmark$

Raízes complexas :

$\huge\boxed{\ \text x= 1+\text i \ \ ; \ \ \text x=1-\text i\ }\checkmark$