Question

Determine as raizes da equação abaixo.Determine antes a condicao de existência dela:2x2+2/x2-1 - 2/x-1= x-2/x+1

Answer 1

1) Vamos lá.

Veja, Murilo, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar as raízes da função abaixo, mas antes dando as condições de existência das funções envolvidas.

(2x² + 2)/(x²-1) - 2/(x-1) = (x-2)/(x+1)

i) Primeiro vamos para as condições de existência. Como não existe divisão por zero, então cada denominador que tem incógnita terá que ser DIFERENTE de zero. Assim, deveremos ter os seguintes denominadores DIFERENTES de zero:

x²-1 ≠ 0 ---> x² ≠ 1 ---> x ≠ ± √(1) ---> x ≠ ± 1 ---> x ≠ -1 e x ≠ 1.
x-1 ≠ 0 ---> x ≠ 1
x+1 ≠ 0 ---> x ≠ -1.

Como, logo na primeira condição já vimos que "x" deverá ser diferente de ± 1, então ela já serve para as outras duas condições posteriores.
Ou seja, as condições de existência são apenas estas:
x ≠ -1 e x ≠ 1.

ii) Como já temos as condições de existência vamos encontrar as raízes da equação dada e que é esta:

(2x² + 2)/(x²-1) - 2/(x-1) = (x-2)/(x+1) ---- note que "x²-1 = (x+1)*(x-1)". Assim, substituindo, teremos:

(2x²+2)/(x+1)*(x-1) - 2/(x-1) = (x-2)/(x+1) ------ vamos passar o 2º membro para o 1º, ficando assim:

(2x²+2)/(x+1)*(x-1) - 2/(x-1) - (x-2)/(x+1) = 0 ---  mmc = (x+1)*(x-1). Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

[1*(2x²+2) - (x+1)*2 - (x-1)*(x-2)]/(x+1)*(x-1) = 0 ----- efetuando os produtos indicados no numerador do 1º membro, teremos:

[(2x²+2) - (2x+2) - (x²-3x+2)]/(x+1)*(x-1) = 0 ---- retirando-se os parênteses do numerador do 1º membro, ficaremos;

[2x²+2 - 2x-2 - x²+3x-2]/(x+1)*(x-1) = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes no numerador do 1º membro, ficaremos com:

[x² + x - 2]/(x+1)*(x-1) = 0 ---- ou, o que é a mesma coisa;
(x² + x - 2)/(x+1)*(x-1) = 0 ---- note que poderemos multiplicar em cruz, pois já vimos, pelas condições de existência, que "x" deverá ser diferente de "-1" e de "1". Então se multiplicarmos em cruz, estaremos garantindo que não estamos multiplicando por "0", ou seja, que (x-1) e (x+1) são ambos diferentes de zero. A multiplicação por zero será porque a expressão já está igualada a zero. Assim, fazendo isso, teremos:

(x² + x - 2) = (x+1)*(x-1)*0 ---- como tudo vezes zero é zero, então ficaremos;
x² + x - 2 = 0 ---- agora é só aplicar Bháskara e encontraremos as raízes desta função. Veja que a fórmula de Bháskara é esta:

x = [-b ± √(Δ)]2a ---- note que os coeficientes da função bem como seu Δ são estes:

a = 1 --- (é o coeficiente de x²)
b = 1 --- (é o coeficiente de x)
c = - 2 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b²-4ac = 1² - 4*1*(-2) = 1+8 = 9.

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:

x = [-1 ± √(9)]/2*1
x = [-1 ± √(9)]/2 ---- veja que √(9) = 3. Assim:
x = [-1 ± 3]/2 ---- daqui você já conclui que:

x' = (-1-3)/2 = (-4)/2 = - 2 <-- raiz válida, pois atende às condições de existência.
x'' = (-1+3)/2 = (2)/2 = 1 <--- raiz INVÁLIDA, pois não atende às condições de existência.

Assim, resumindo, temos que a raiz será aquela que atende às condições de existência e que será apenas o "-2". Logo:

x = - 2 <--- Esta é a resposta. Esta é a única que atendeu às condições de existência.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {-2}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.