Question

Determine as raízes da equação 3x³ - 16x² + 23x - 6 = 0, sabendo que o produto de duas delas é igual a unidade.

Answer 1

Pelas relações de Girard

ax³ +bx² + cx + d = 0 tem raízes reais x1,x2,x3

Então
x1*x2*x3 = -d/a
x1*x2+x1*x3 + x2*x3 = c/a
x1 + x2 + x3 = -b/a


O problema diz que x1*x2 = 1

Mas temos que
x1*x2*x3 = -(-6)/3 = 2
1*x3 = 2
Logo, x3 = 2

Podemos usar Briot-Ruffini pra diminuir o grau do polinômio com essa raiz que já encontramos ou trabalhar com as outras relações.

x1*x2+x1*x3 + x2*x3 = 23/3
1 + 2x1 + 2x1 = 23/3
2(x1 + x2) = 20/3
x1 + x2 = 10/3

Mas, o problema diz que x1*x2 = 1. logo x1 = 1/x2

1/x2 + x2 = 10/3

1 + x2^2 = 10x2/3
x2² - 10x2/3 + 1 = 0

Aplicando bhaskara aqui temos. que X2 pode ser 1/3 ou 3.

x1 = 1/x2

se x2=1/3, x1 = 3

se x2 = 3, x1 = 1/3.

Logo, tanto 1/3 quanto 3 são raízes.

As raizes da função são X = {1/3, 2,  3}