Question

determine as raízes complexas das equações:​

Answer 1

Relembrando um pouco sobre números complexos.

Sendo $i$ a unidade imaginária, tem-se que :

$i = \sqrt{-1}$

Sendo assim, podemos ter raízes negativas no conjunto dos números complexos, por exemplo :

$\sqrt{-4} = \sqrt{4.-1} \to \sqrt{4}.\sqrt{-1} = 2.\sqrt{-1} \to 2.i$

$\sqrt{-25} = \sqrt{25.-1} \to \sqrt{25}.\sqrt{-1} \to 5.\sqrt{-1} = 5.i$

Sabendo disso vamos para nossa questão.

A questão nos pede as raízes complexas da equação seguinte :

$\begin{center} \fbox{\displaystyle x^2 + 2x+ 5 =0 }\end{center}$

podemos fazer por bhaskara ou podemos fatorar o polinômio. De qualquer forma farei dos dois jeitos :

1º fatorando o polinômio

Sabendo que :

$\begin{center} \fbox{\displaystyle x^2 +2x + 1 = (x+1)^2 }\end{center}$  

podemos escrever a expressão da seguinte forma :

$\begin{center} \fbox{\displaystyle x^2 + 2x+ 5 =0 }\end{center}$

$\begin{center} \fbox{\displaystyle x^2 + 2x + 1 + 4 = 0 }\end{center}$

escrevendo o polinômio de forma fatorada :

$\begin{center} \fbox{\displaystyle (x+1)^2 + 4 = 0 }\end{center}$

isolando x

$\begin{center} \fbox{\displaystyle (x+1)^2 = -4 }\end{center}$

tirando a raiz quadrada dos dois lados :

$\begin{center} \fbox{\displaystyle (x+1) = \pm \sqrt{-4} }\end{center}$

isola o x :

$\begin{center} \fbox{\displaystyle x = -1 \pm \sqrt{-4} }\end{center}$

Sabendo que :

$\sqrt{-4} = \sqrt{4.-1} \to \sqrt{4}.\sqrt{-1} = 2.\sqrt{-1} \to 2.i$

vamos escrever da dessa forma :

$\begin{center} \fbox{\displaystyle x = -1 \pm 2.i }\end{center}$

então as raízes complexas são :

$\begin{center} \fbox{\displaystyle x_1 = -1 + 2.i }\end{center}$ e  $\begin{center} \fbox{\displaystyle x_2 = -1 - 2.i }\end{center}$

2º Usando bhaskara

$\begin{center} \fbox{\displaystyle x^2 + 2x+ 5 =0 }\end{center}$

$a = 1, b = 2, c = 5$

fórmula de bhaskara

$\fbox{\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a} }$

substituindo os respectivos valores :

$\fbox{\displaystyle x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 -4.1.5}}{2.1} }$

$\fbox{\displaystyle x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-20}}{2} }$

$\fbox{\displaystyle x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} }$

sabendo que

$\sqrt{-16} = \sqrt{16.-1} \to \sqrt{16}.\sqrt{-1} = 4.\sqrt{-1} \to 4.i$

vamos escrever dessa forma então :

$\fbox{\displaystyle x = \frac{-2 \pm 4.i}{2} \to x = -1 \pm 2.i }$

$\fbox{\displaystyle x_1 =-1 + 2.i \to x_2 = -1 - 2.i }$