Question

Determine as partes real e imaginária dos complexos a seguir, dados o módulo |z| e o argumento θ.
B) |z| = 1 e θ = π/4

Answer 1

Dado um número complexo z com módulo $\mathsf{|z|}$ e argumento $\mathsf{\theta}$, temos que

$\mathsf{z=|z|\cdot(cos\,\theta+i\,sen\,\theta)}$

Tal representação é chamada de forma trigonométrica de z
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Dado um número complexo z com $\mathsf{|z|=1}$ e $\mathsf{\theta=\dfrac{\pi}{4}}$, temos que

$\mathsf{z=|z|\cdot(cos\,\theta+i\,sen\,\theta)}\\\\\mathsf{z=1\cdot(cos\,\frac{\pi}{4}+i\,sen\,\frac{\pi}{4})}\\\\\mathsf{z=cos\,\frac{\pi}{4}+i\,sen\,\frac{\pi}{4}}$

Como $\mathsf{\dfrac{\pi}{4}\,rad=\dfrac{180\º}{4}=45\º}$, sabe-se que

$\mathsf{sen\,\frac{\pi}{4}=cos\,\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

Então

$\boxed{\boxed{\mathsf{z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Portanto, por definição de parte real e imaginária,

$\boxed{\boxed{\mathsf{Re(z)=Im(z)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}}$