Question

Determine as medidas x e y dos angulos agudos do triangulo retangulo PTM

Answer 1

√Vamos lá.

Veja, Ariholiveira, que a resolução é simples.
Note que a hipotenusa do triângulo da sua questão é o segmento PM.
E como já temos as medidas dos catetos, que são: PT = √5 e TM = 2√5 , então já poderemos calcular a medida da hipotenusa (PM) com a aplicação de Pitágoras (a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos).
Então, aplicando isto, teremos:

(PM)² = (√5)² + (2√5)² ---- desenvolvendo, teremos:
(PM)² = 5 + 4*5
(PM)² = 5 + 20
(PM)² = 25
PM = +-√25 ------ como √25 = 5, teremos:
PM = +- 5 ---- mas como a medida da hipotenusa não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

PM = 5 <--- Esta é a medida da hipotenusa.

Bem, agora que já temos a medida da hipotenusa e as medidas de cada cateto, então veja que há as seguintes relações num triângulo retângulo:

sen(y) = cateto oposto/hipotenusa ----- fazendo as devidas substituições, teremos:

sen(y) = √(5) / 5 ---- considerando √(5) = 2,236 (aproximadamente), teremos:
sen(y) = 2,236/5 ---- veja que esta divisão dá "0,4472". Assim, teremos:
sen(y) = 0,4472 ----- se você for numa calculadora científica, vai notar que o arco, cujo seno é igual a "0,4472" é arco de "26,56º" (aproximadamente). Logo:

y = 26,56º <--- Esta é a medida aproximada do ângulo "y".

Agora vamos para o arco "x".
Agora veja isto: como já temos que o triângulo é retângulo em P, então o ângulo P será igual a 90º. Como os ângulos internos de um triângulo somam 180º, então teremos que o ângulo "x" será o resultado da seguinte soma:

x + 90º + 26,56º = 180º ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x + 116,56º = 180º
x = 180º - 116,56º ----- veja que esta subtração dá 63,44º. Assim:
x = 63,44º <--- Esta é a medida do ângulo "x'.

Assim, resumindo, teremos que as medidas dos ângulos "x" e "y" serão:

x = 63,44º e y = 26,56º <--- Esta é a resposta.

Bem, a resposta já está dada. Agora veja como isso é verdade, que a soma dos três ângulos internos dará 180º. Veja:

63,44º + 26,56º + 90º = 180º ---- como 63,44º + 26,56º = 90º, teremos:
90º + 90º = 180º
180º = 180º  <--- Olha aí como é verdade. 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.