Question

Determine as medidas dos segmentos: __ e __ da figura abaixo.
BC AC

ABC é Triangulo Retângulo?


Obrigada.. ​

Answer 1

Olá, tudo bem?

• Qual o valor do ângulo  do triângulo ABC?

Sabendo o valor dos outros dois ângulos do triângulo ABC e que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, faremos:

 + 60° + 45° = 180°

 + 105° = 180°

 = 180° - 105°

 = 75° (vermelho)

• Qual a medida do segmento BC?

Sabendo que o ângulo ausente era de 75° e, por não possuir nenhum ângulo reto (90°), o triângulo ABC não é retângulo. Teremos que usar as relações trigonométricas nos dois triângulos retângulos evidentes: ABD & ACD.

Vamos calcular a medida BD através do cosseno de 60°:

$cos \: 60 = \frac{ca}{h} \\ \\ \frac{1}{2} = \frac{bd}{8} \\ \\ bd \times 2 = 1 \times 8 \\ 2bd = 8 \\ bd = 8 \div 2 \\ \color{red} \boxed{ \boxed {bd = 4} }$

Vamos calcular a medida AD (Igual a medida DC) através do Teorema de Pitágoras:

${8}^{2} = {bd}^{2} + {ad}^{2} \\ 64 = {4}^{2} + {ad}^{2} \\ 64 = 16 + ad^{2} \\ {ad}^{2} = 64 - 16 \\ {ad}^{2} = 48 \\ ad = \sqrt{48} \\ \color{red} \boxed{ \boxed {ad = cd = 4 \sqrt{3} } }$

A medida do lado BC será a soma de CD e de BD:

$\color{red} \boxed{ \boxed {bc = 4 \sqrt{3} + 4 } }$

• Qual a medida do lado AC?

Resolveremos através de um Teorema de Pitágoras:

${ac}^{2} = {ad}^{2} + {cd}^{2} \\ {ac}^{2} = ( {4 \sqrt{3} )}^{2} + {(4 \sqrt{3} )}^{2} \\ {ac}^{2} = 48 + 48 \\ {ac}^{2} = 96 \\ ac = \sqrt{96} \\ \color{red} \boxed{ \boxed {ac = 4 \sqrt{6} } }$

Espero ter ajudado :-) Bons estudos.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Seja x a medida do ângulo BÂC.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

x + 60° + 45° = 180°

x + 105° = 180°

x = 180° - 105°

x = 75°

Logo, o triângulo ABC não é retângulo.

Sejam BD = y e AD = z.

$\sf cos~60^{\circ}=\dfrac{cateto~oposto}{hipotenusa}$

$\sf \dfrac{1}{2}=\dfrac{y}{8}$

$\sf 2y=8\cdot1$

$\sf 2y=8$

$\sf y=\dfrac{8}{2}$

$\sf y=4$

Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo ABD:

$\sf z^2+4^2=8^2$

$\sf z^2+16=64$

$\sf z^2=64-16$

$\sf z^2=48$

$\sf z=\sqrt{48}$

$\sf z=4\sqrt{3}$

Como um dos ângulos do triângulo retângulo ACD é 45°, esse triângulo é isósceles e seus catetos são iguais.

Desse modo, $\sf \overline{CD}=4\sqrt{3}$

Seja AC = w.

Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo ACD:

$\sf w^2=(4\sqrt{3})^2+(4\sqrt{3})^2$

$\sf w^2=48+48$

$\sf w^2=96$

$\sf w=\sqrt{96}$

$\sf w=4\sqrt{6}$

Logo:

• $\sf \green{\overline{AC}=4\sqrt{6}}$

• $\sf \overline{BC}=4+4\sqrt{3}~\Rightarrow~\green{BC=4\cdot(1+\sqrt{3})}$