Question

Determine as medidas b e h indicadas no seguinte triângulo retângulo:

Answer 1

Observe a figura em anexo.


Só por conveniência, vou assumir que as unidades de comprimento estão dadas em centímetros (mas poderia ser qualquer outra, a ideia não mudaria).


Para não carregar a resolução com várias notações de "med", para denotar a medida de um segmento, vou apenas indicar o segmento (abuso de notação).


Eu poderia usar as relações métricas do triângulo retângulo, mas vou dar preferência a trabalhar com semelhança de triângulos, ok?


•    Obtendo a medida do segmento CP:

$\mathsf{CP+PB=CB}\\\\ \mathsf{CP+48=54}\\\\ \mathsf{CP=54-48}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{CP=6~cm} \end{array}}$


•    Os triângulos APC e ABP são semelhantes. Logo, os lados correspondentes são proporcionais.


Disto, vale que

$\mathsf{\dfrac{CP}{AP}=\dfrac{AP}{PB}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{6}{h}=\dfrac{h}{48}}\\\\\\ \mathsf{h^2=6\cdot 48}\\\\ \mathsf{h^2=288}\\\\ \mathsf{h=\sqrt{288}}$

$\mathsf{h=\sqrt{144\cdot 2}}\\\\ \mathsf{h=\sqrt{12^2\cdot 2}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{h=12\sqrt{2}~cm} \end{array}}$


•    Podemos obter b aplicando Pitágoras ao triângulo APC:

$\mathsf{(AC)^2=(AP)^2+(CP)^2}\\\\ \mathsf{b^2=h^2+6^2}\\\\ \mathsf{b^2=(12\sqrt{2})^2+6^2}\\\\ \mathsf{b^2=288+36}\\\\ \mathsf{b^2=324}\\\\ \mathsf{b=\sqrt{324}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{b=18~cm}\end{array}}$


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Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)


Tags: triângulo retângulo relações métricas teorema de pitágoras semelhança proporção