Matemática, perguntado por Leeh04, 1 ano atrás

determine as inversas das matrizes :

A=  \left[\begin{array}{ccc}4&3\\1&1\\\end{array}\right]

B=   \left[\begin{array}{ccc}3&4\\2&3\\\end{array}\right]

Soluções para a tarefa

Respondido por dexteright02
3
A =   \left[\begin{array}{cc}4&3\\1&1\\\end{array}\right]

A matriz inversa A^{-1} possui a mesma ordem (2x2), simbolizada por letras, vejamos:

A^{-1} =  \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]

A matriz identidade é representada por:

I_n = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]

A multiplicação das duas matrizes acima, resultam na matriz identidade:

A*A^{-1} = I_n

\left[\begin{array}{cc}4&3\\1&1\\\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]

Temos multiplicação de matrizes de ordem (2x2), atente-se bem às regras de multiplicação:
1- Multiplique os elementos da primeira linha da matriz A pelos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A e some-os.
2- Multiplique os elementos da segunda linha da matriz A pelos elementos da segunda coluna da matriz inversa de A e some-os.
3- Igualamos a multiplicação das matrizes A e inversa de A com a matriz identidade.

\left[\begin{array}{cc}4*a+3*c&4*b+3*d\\1*a+1*c&1*b+1*d\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]

Temos dois sistemas de equações e vamos resolver cada um:

1\º \left \{ {{4a+3c=1} \atop {1a+1c=0}} \right.

\left \{ {{4a+3c=1\;(I)} \atop {1a+1c=0\:(II)}} \right.

\left \{ {{4a+3c=1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \atop {1a+1c=0\:\:*(-3)}}

\left \{ {{4a+\diagup\!\!\!\!3c=1} \atop {-3a-\diagup\!\!\!\!3c=0}}

\left \{ {{4a=1} \atop {-3a=0}} 

------------

\boxed{a = 1}

Substitui na equação (I), temos o valor de "c":
4a+3c=1
4*1 + 3c = 1
4+3c = 1
3c = 1-4
3c = -3

c =  \dfrac{-3}{3} \to \boxed{c = -1}

2\º \left \{ {{4b+3d=0} \atop {1b+1d=1}} \right.

\left \{ {{4b+3d=0\;(I)} \atop {1b+1d=1\:(II)}} \right.

\left \{ {{4b+3d=0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \atop {1b+1d=1\:\:*(-3)}}

\left \{ {{4b+\diagup\!\!\!\!3d=0} \atop {-3b-\diagup\!\!\!\!3d=-3}}

\left \{ {{4b=0} \atop {-3b=-3}} ------------ \boxed{b = -3}

Substitui na equação (I), temos o valor de "d":
4b+3d=0
4*(-3) + 3d = 0
-12+3d = 0
3d = 12

d = \dfrac{12}{3} \to \boxed{d = 4}

Matriz inversa de A:

A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]

\boxed{\boxed{A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}1&-3\\-1&4\\\end{array}\right]}}\end{array}}\qquad\checkmark

-----------------------------------------------------------------

B = \left[\begin{array}{cc}3&4\\2&3\\\end{array}\right]

A matriz inversa B^{-1} possui a mesma ordem (2x2), simbolizada por letras, vejamos:

B^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]

A matriz identidade é representada por:

I_n = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]

A multiplicação das duas matrizes acima, resultam na matriz identidade:

B*B^{-1} = I_n

\left[\begin{array}{cc}3&4\\2&3\\\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]

Temos multiplicação de matrizes de ordem (2x2), atente-se bem às regras de multiplicação:
1- Multiplique os elementos da primeira linha da matriz B pelos elementos da primeira coluna da matriz inversa de B e some-os.
2- Multiplique os elementos da segunda linha da matriz B pelos elementos da segunda coluna da matriz inversa de B e some-os.
3- Igualamos a multiplicação das matrizes B e inversa de B com a matriz identidade.

\left[\begin{array}{cc}3*a+4*c&3*b+4*d\\2*a+3*c&2*b+3*d\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]

Temos dois sistemas de equações e vamos resolver cada um:

1\º \left \{ {{3a+4c=1} \atop {2a+3c=0}} \right.

\left \{ {{3a+4c=1\;(I)} \atop {2a+3c=0\:(II)}} \right.

\left \{ {{3a+4c=1}\:\:*(3)\atop {2a+3c=0\:\:*(-4)}}

\left \{ {{9a+\diagup\!\!\!\!12c=3}\atop {-8a-\diagup\!\!\!\!12c=0}}

-----------------

\boxed{a = 3}

Substitui na equação (I), temos o valor de "c":
3a+4c=1
3*3 + 4c = 1
9+4c = 1
4c = 1-9
4c = -8

c = \dfrac{-8}{4} \to \boxed{c = -2}

2\º \left \{ {{3b+4d=0} \atop {2b+3d=1}} \right.

\left \{ {{3b+4d=0\;(I)} \atop {2b+3d=1\:(II)}} \right.

\left \{ {{3b+4d=0}\:\:*(3)\atop {2b+3d=1\:\:*(-4)}}

\left \{ {{9b+\diagup\!\!\!\!12d=0}\atop {-8b-\diagup\!\!\!\!12d=-4}} ----------------- \boxed{b = -4}

Substitui na equação (I), temos o valor de "d":
3b+4d=0
3*(-4) + 4d = 0
-12+4d = 0
4d = 12

d = \dfrac{12}{4} \to \boxed{d = 3}

Matriz inversa de B:

B^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]

\boxed{\boxed{B^{-1} = \left[\begin{array}{cc}3&-4\\-2&3\\\end{array}\right]}}\end{array}}\qquad\checkmark
Respondido por Usuário anônimo
2

A=

4   3   |    1    0

1   1   |    0  1

L1<>L2

1   1    |    0    1

4   3   |    1    0

L2<--L2-4L1

1    1    |    0    1

0   -1   |    1    -4

L1<--L1+L2

1    0    |    1    -3

0   -1   |    1    -4

L2<--(-1)*L2

1    0    |     1    -3        ==> A-¹  =     1       -3

0    1    |    -1     4                            -1        4

_____________________________________________

B=

3    4     |    1     0

2    3     |    0     1

L1<--L1-L2

1    1     |    1     -1

2    3     |    0     1

L2<--L2-2L1

1    1     |     1     -1

0    1     |    -2     3

L1<--L1-L2

1    0     |      3    -4   ==>B-¹  =   3    -4

0    1     |     -2     3                    -2     3



dexteright02: muito bem, utilizou escalonamento de matrizes
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