Question

Determine as integrais curvilíneas, onde C é o triângulo ABC, onde A = (0,0), B = (0,1) e D = (1,1), no sentido anti-horário.

Answer 1

Resposta:

0

Explicação passo-a-passo:

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1. Seja f(x,y) uma função escalar e seja C uma curva fechada simples. Suponha que a curva C pode ser dividida em curvas menores C₁, C₂, C₃ então a integral de linha de f ao longo de C é:

$\boxed{\mathsf{\displaystyle \oint_Cf(x,y)\,ds=\int_{C_1}f(x,y)\,ds\,+\int_{C_2}f(x,y)\,ds\,+\int_{C_3}f(x,y)\,ds}}$

2. A figura abaixo mostra o caminho de integração C. Observe que C = C₁ + C₂ + C₃, logo podemos usar o teorema acima para calcular a integral solicitada.

• Integral ao longo de C₁:

1. Podemos parametrizar a curva C₁ da seguinte forma:

$\\\\\displaystyle \mathsf{C_1:}\left \{ {\mathsf{x=x} \atop {\mathsf{y=x}}} \right.$

2. Determine as derivadas:

$\mathsf{dx=dx}\\\\\mathsf{dy=dx}$

3. Substitua na integral original:

$\mathsf{\displaystyle \int_{C_1}x\,dx+y\,dy=\int_0^1x\,dx+x\,dx}\\\\=\mathsf{\displaystyle \int_0^12x\,dx=2\dfrac{x^2}{2}\bigg|_0^1}\\\\=\mathsf{1\cdot(1-0)}\\\\=\mathsf{1}$

• Integral ao longo de C₂:

1. Agora faça a parametrização da curva C₂:

$\displaystyle \mathsf{C_2:}\left \{ {\mathsf{x=x} \atop {\mathsf{y=1}}} \right.$

2. Determine as derivadas:

$\mathsf{dx=dx}\\\\\mathsf{dy=0}$

3. Substitua na integral original:

$\mathsf{\displaystyle \int_{C_2}x\,dx+y\,dy=-\int_0^1x\,dx}\\\\=\mathsf{-\dfrac{x^2}{2}\bigg|_0^1}\\\\=\mathsf{-\dfrac{1}{2}-0}\\\\=\mathsf{-\dfrac{1}{2}}$

• Integral ao longo de C₃:

1. Faça a parametrização da curva, temos que:

$\displaystyle \mathsf{C_3:}\left \{ {\mathsf{x=0} \atop {\mathsf{y=y}}} \right.$

2. As derivadas são:

$\mathsf{dx=0}\\\\\mathsf{dy=dy}$

3. Substituindo na integral original obtemos:

$\mathsf{\displaystyle \int_{C_2}x\,dx+y\,dy=-\int_0^1y\,dy}\\\\=\mathsf{-\dfrac{y^2}{2}\bigg|_0^1}\\\\=\mathsf{-\dfrac{1}{2}-0}\\\\=\mathsf{-\dfrac{1}{2}}$

• Integral ao longo de C:

Agora podemos coletar os resultados anteriores e calcular a integral de linha ao longo de C, assim:

$\mathsf{\displaystyle \oint_Cx\,dx+y\,dy=1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}}\\\\=\mathsf{1-1}\\\\=\mathsf{0}$

Conclusão: o valor da integral de linha ao longo de C é 0.

Bons estudos!

Equipe Brainly