Question

Determine as integrais curvilíneas, onde C é o caminho que liga o ponto A = (0,0,0) ao ponto B = (1,1,2).

Answer 1

Resposta:

7

Explicação passo-a-passo:

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Seja C uma curva de equações paramétricas:

$\mathsf{C: r(t)=(x(t),y(t),z(t))}$

e considere a função escalar:

$\mathsf{f(x,y,z) = P(x,y,z) + Q(x,y,z) + R(x,y,z)}$

então a integral de linha de f com relação ao comprimento do arco é:

$\boxed{\mathsf{\displaystyle \int_CP\,dx+Q\,dy+R\,dz=\int_a^bP[r(t)]\cdot x'(t)\,dt+Q[r(t)]\cdot y'(t)\,dt+R[r(t)]\cdot z'(t)\,dt}}$

Solução:

1. A parametrização de um segmento de reta é dada por:

$\mathsf{r(t)=(1-t)r_o+t\,r_1}\qquad\mathsf{0\leq t \leq1}$

onde r₀ é o ponto inicial e r₁ o ponto final.

Substituindo os pontos A e B, obtemos:

$\mathsf{r(t)=(1-t)\cdot (0,0,0)+t(1,1,2)}\\\\\mathsf{r(t)=(t,t,2t)=(x(t),y(t),z(t))}$

2. Calcule as derivadas das equações paramétricas da curva:

$\mathsf{dx=x'(t)\,dt=1\,dt=dt}\\\\\mathsf{dy=y'(t)\,dt=1\,dt=dt}\\\\\mathsf{dz=z'(t)\,dt=2\,dt}$

3. Substitua tudo na integral original:

$\mathsf{\displaystyle \int_C2xy\,dx+x^2\,dy+3z\,dz=\int_0^12t^2\,dt+t^2\,dt+3\cdot(2t)\cdot2\,dt}}$

$=\mathsf{\displaystyle \int_0^13t^2+12t\,dt=3\cdot\dfrac{t^3}{3}+12\cdot\dfrac{t^2}{2}\bigg|_0^1}\\\\=\mathsf{t^3+6t^2\bigg|_0^1=1+6-0+0}\\\\=\mathsf{7}$

Conclusão: o valor da integral procurada é 7.

Bons estudos! :D

Equipe Brainly