Question

Determine as geratrizes das dizimas periódicas a seguir:

a) -2,4777...

b) -0,02333....

c) 0,05222...

Obs> Adjemir pode resolver pelo outro método ?

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para determinar as frações geratrizes das seguintes dízimas periódicas, que vamos chamá-las de um certo "x", apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa:


a) x = 2,4777.....

Veja que há um método bem simples e prático pra encontrar frações geratrizes de quaisquer dízimas periódicas. Esse método consiste em multiplicarmos tantas vezes quanto  necessário a dízima por uma potência de "10", capaz de, após algumas operações bem fáceis,  fazer "desaparecer" o período (período é a parte que se repete nas dízimas periódicas. Daí o nome "periódica").

Bem, visto isso, então vamos multiplicar "x" por "10" e depois por "100". Após isso, faremos a subtração, membro a membro, entre os dois números assim encontrados e teremos, no fim, feito "desaparecer" o período, que é o que nos interessa.
Assim, multiplicando-se "x" por "10", teremos:

10*x = 10*2,4777....
10x = 24,77777......

Agora multiplicaremos o "x" por 100, ficando:

100*x = 100*2,4777......
100x = 247,77777.....

Finalmente faremos a subtração de que falamos antes:

100x = 247,77777....
- 10x = -24,77777....
-------------------------------------- subtraindo membro a membro, teremos:
90x = 223,000000........  ----- ou apenas:
90x = 223
x = 223/90 <--- Esta é a fração geratriz da dízima periódica "2,4777....".


b) x = 0,02333....

Utilizando artifício parecido com o que vimos na questão anterior, multiplicaremos  "x" por "100" e depois por "1.000", com o que ficaremos assim:

100*x = 100*0,02333....
100x = 2,33333.......

Agora multiplicaremos "x" por "1.000", ficando:

1.000*x = 1.000*0,023333....
1.000x = 23,333333......

Agora subtrairemos 100x de 1.000x, com o que ficaremos assim:

1.000x = 23,333333....
.- 100x = - 2,333333.....
----------------------------------- subtraindo-se membro a membro, teremos:
900x = 21,00000...  --- ou apenas:
900x = 21
x = 21/900 ----- dividindo-se numerador e denominador por "3", ficaremos:
x = 7/300 <--- Esta é a fração geratriz da dízima periódica "0,02333....."


c) x = 0,05222...

Utilizando-se o mesmo método já visto nas duas questões anteriores, vamos multiplicar "x" por "100" e depois por "1.000". No final faremos a subtração de 100x de 1.000x e teremos feito desaparecer o período, que é o que nos interessa. Assim:

100x = 100*0,05222......
100x = 5,2222.......

Agora multiplicando-se "x" por 1.000, teremos:

1.000*x = 1.000*0,052222....
1.000x = 52,22222......

Finalmente subtrairemos 100x de 1.000x e teremos feito desaparecer o período. Veja:

1.000x = 52,222222....
- 100x = - 5,222222....
----------------------------------- subtraindo membro a membro, teremos:
900x = 47,00000..... ---- ou apenas:
900x = 47
x = 47/900 <--- Esta é a fração geratriz da dízima periódica "0,052222.....".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.