Question

Determine as Funções f(x); g(x); h(x); e suas raízes .

Answer 1

Analisando a formação dos polinomios, temos que:

$h(x)=-2(x-\frac{3}{2})$

$g(x)=-\frac{64}{3}(x+\frac{5}{4})(x-\frac{3}{4})$

$f(x)=\frac{36}{15}(x+\frac{5}{6})(x-\frac{1}{3})(x-\frac{3}{2})$

Explicação passo-a-passo:

Vamos primeiramente falar sobre com ose construir polinomios.

Todo polinomio pode ser escrito desta forma:

$P=A(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ (No caso de um polinomio do 3 grau).

Assim, basta multiplicar as raízes do polinomio para termos ele, porem ainda sobra um parametro de altura "A", que para descobri-lo basta substituir qualquer ponto não sendo raíz nele.

Assim vamos construir os polinomios 1 a 1:

h(x)

Esta é o mais simples pois ele é do primeiro grau e tem somente 1 raíz, que podemos ver na figura a raíz é o valor de x, que ele cruza em cima da reta x, que é x = 1,5 , então a sua equação é:

$h(x)=A(x-1,5)$

Para descobrirmos A, basta notar que quando x=0, h(0) passa pelo y = 3, então vamos substituir e descobrir:

$h(x)=A(x-1,5)$

$3=A(0-1,5)$

$3=A(-1,5)$

$A=\frac{3}{-1,5}=-2$

Assim temos que a função é:

$h(x)=-2(x-1,5)$

$h(x)=-2(x-\frac{3}{2})$

g(x):

Esta é uma função do segundo, que tem duas raízes, como podemos ver na figura, sendo eles, x=-1,25 e x=0,75, entã oa equação de g(x) é:

$g(x)=A(x+1,25)(x-0,75)$

E para encontrarmos A, basta notarmos que em x=0, g=2:

$g(x)=A(x+1,25)(x-0,75)$

$2=A(0+1,25)(0-0,75)$

$2=A(1,25)(-0,75)$

$2=A(-0,09375)$

$A=-\frac{2}{0,09375}$

$A=-21,333..=-\frac{64}{3}$

Então nossa equação fica:

$g(x)=-\frac{64}{3}(x+1,25)(x-0,75)$

$g(x)=-\frac{64}{3}(x+\frac{5}{4})(x-\frac{3}{4})$

f(x):

Esta é do terceiro grau com raízes x=-5/6, x=1/3 e x=3/2 (Estou pegando estes valores de olho, podem estar errados infinitesimalmente). Então a equação fica:

$f(x)=A(x+\frac{5}{6})(x-\frac{1}{3})(x-\frac{3}{2})$

E para descobrir A, temos que quando x=0, f=1:

$f(x)=A(x+\frac{5}{6})(x-\frac{1}{3})(x-\frac{3}{2})$

$1=A(0+\frac{5}{6})(0-\frac{1}{3})(0-\frac{3}{2})$

$1=A(\frac{5}{6})(-\frac{1}{3})(-\frac{3}{2})$

$1=A(\frac{15}{36})$

$A=\frac{36}{15}$

Assim nossa equação fica:

$f(x)=\frac{36}{15}(x+\frac{5}{6})(x-\frac{1}{3})(x-\frac{3}{2})$