Question

Determine as equações do plano normal e do plano osculador da hélice circular r(t) = < cos t, sen t, t > no ponto P (0, 1, Pi/2).

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Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Cálculo Vetorial, concluímos que as equações dos planos normal e osculador são, respectivamente,  z = x + π/2  e  z = - x + π/2.

☛     A equação de um plano é  $\vec{n} \cdotp ( P-P_{0}) =0$ , em que  $\vec{n}$  é um vetor normal ao plano, P = (x, y, z), um ponto genérico, e  $P_0$  é um ponto pertencente ao plano.

☛     Um vetor nomal ao plano normal de uma função vetorial  $\vec{r}( t) =( x( t) ,y( t) ,z( t) )$  é  $\vec{r} \ '( t) =( x'( t) ,y'( t) ,z'( t) )$ .

☛     Um vetor normal ao plano osculador é  $\vec{\phi}( t) =\vec{r} \ '( t) \times \vec{r} \ ''( t)$ .

1. O vetor  $\vec{r} \ '( t)$  é tangente à curva.
2. O vetor  $\vec{r} \ ''( t)$  é normal ao vetor tangente.
3. O vetor  $\vec{\phi}( t)$  é simultaneamente ortogonal aos vetores normal e tangente.

➜     Na sua questão, temos  $P_0=(0,1,\pi/2)$ . Note que o ponto  $(0,1,\pi/2)$  corresponde a  $\vec{r}\left(\frac{\pi }{2}\right)$ . Assim, o plano normal tem como vetor normal o vetor

$\vec{r} \ '\left(\frac{\pi }{2}\right) =\left( -\sin\left(\frac{\pi }{2}\right) ,\cos\left(\frac{\pi }{2}\right) ,1\right) =( -1,0,1)$

∴     A equação do plano normal é

$\begin{array}{l}\vec{n} \cdotp ( P-P_{0}) =0\\\\\Longrightarrow ( -1,0,1) \cdotp \left[( x,y,z) -\left( 0,1,\frac{\pi }{2}\right)\right] =0\\\\\Longrightarrow -x+z-\frac{\pi }{2} =0\\\\\Longrightarrow \boxed{\boxed{z=x+\frac{\pi }{2}}}\end{array}$

♦︎     O plano osculador tem como vetor normal o vetor

$\begin{array}{l}\vec{\phi}\left(\frac{\pi }{2}\right) =\vec{r} \ '\left(\frac{\pi }{2}\right) \times \vec{r} \ ''\left(\frac{\pi }{2}\right)\\\\=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\-1 & 0 & 1\\0 & -1 & 0\end{vmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \left[ \because \vec{r} \ ''\left(\frac{\pi }{2}\right) =\left( -\cos\left(\frac{\pi }{2}\right) ,-\sin\left(\frac{\pi }{2}\right) ,0\right)\right]\end{array}$

$\begin{array}{l}=( 0+1)\hat{i} +( 0-0)\hat{j} +( 1-0)\hat{k}\\\\=\hat{i} +\hat{k}\\\\=( 1,0,1)\end{array}$

∴     A equação do plano osculador é

$\begin{array}{l}\vec{n} \cdotp ( P-P_{0}) =0\\\\\Longrightarrow ( 1,0,1) \cdotp \left[( x,y,z) -\left( 0,1,\frac{\pi }{2}\right)\right] =0\\\\\Longrightarrow x+z-\frac{\pi }{2} =0\\\\\Longrightarrow \boxed{\boxed{z=-x+\frac{\pi }{2}}}\end{array}$

∴     As equações dos planos normal e osculador são, respectivamente,  z = x + π/2  e  z = - x + π/2   ✍️

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