Question

Determine as equações de todas as retas com coeficiente angular -1 que sejam tangentes à curva y = $\frac{1}{x-1}$

Answer 1

Resposta: y = -x - 1 ou y = -x + 3

Explicação passo-a-passo:

Sabendo que a derivada de uma função é justamente o coeficiente angular da reta tangente a uma curva, vamos derivar y em relação a x:

y = (x - 1)⁻¹

dy/dx = -1·(x - 1)⁻² = - $\frac{1}{(x-1)^{2} }$

Para que a reta tenha coeficiente angular -1:

dy/dx = -1

- $\frac{1}{(x-1)^{2} }$ = - 1

(x - 1)² = 1

x - 1 = ± 1

x = 2 ou x = 0

Ou seja, a reta tangente tem coeficiente angular -1 quando ela passa por x = 2 ou x = 0

Vamos agora calcular as equações das retas:

Em x = 0:

Quando x = 0, y = -1 (basta substituir na equação da curva)

y - yo = m(x - xo)

y - (-1) = -1(x - 0)

y = -x - 1

Em x = 2:

Quando x = 2, y =1 (substituindo na eq. da curva)

y - yo = m(x - xo)

y - 1 = -1(x - 2)

y = -x + 3