Question

Determine às equações das retas tangentes as curvas:
a) y=2x-x³ (-2,4)
b)=-8/√x (4,-4)

Answer 1

equação de uma reta
$\boxed{\boxed{y= m*(x-x_0)+y_0}}$

m = coeficiente angular
x0 e y0 são pontos por onde essa reta passa


para que essa reta seja tangente a uma curva f(x)
o coeficiente angular será: m=f'(x0) (é a derivada da funçao calculada no ponto de tangencia)

x0,y0 é o onde onde essa reta tangencial a curva

a)
$f(x)=2x-x^3\\\\P(-2,4)\to x_0=-2\;\;,\; y_0= 4$

ja foi dado o ponto de tangencia x0 e y0 só falta achar o coeficiente angular
derivando a função
lembrando que a derivada de uma função potencia é 
$\boxed{\boxed{(x^N)' = N*x^{N-1}}}$

e lembrando tbm a que a derivada de x em relação a x é 1

$f(x)=2x-x^3\\\\\text{derivando}\\\\f'(x)=2*1 - 3x^{3-1}\\\\f'(x)=2-3x^2\\\\\\\\m=f'(x_0)\\m=f'(-2)\\\\m=2-3*(-2)^2\\\\\boxed{m=-10}$


a equação da reta tangente
$y=m*(x-x_0)+y_0\\\\y=-10*(x-(-2))+4\\\\y=-10x-20+4\\\\\boxed{\boxed{y=-10x-16}}$

b)

$f(x)= \frac{-8}{ \sqrt{x} } \\\\f(x)=8*x^{- \frac{1}{2} }\\\\\text{derivando}\\\\f'(x)=-8* \frac{-1}{2} *x^{ \frac{-1}{2}-1 }\\\\f'(x)=4x^{ \frac{-3}{2} }\\\\f'(x)= \frac{4}{ \sqrt{x^3} } \\\\\\\\\text{calculando o coeficiente angular}\\\\m=f'(4)\\\\m= \frac{4}{ \sqrt{4^3} } \\\\m= \frac{1}{2}$

temos
m= 1/2
x0 = 4
y0= -4


$y= \frac{1}{2}(x-4)+(-4)\\\\y= \frac{x}{2} -2-4\\\\\boxed{\boxed{y= \frac{x}{2} -6 }}$