Question

Determine as equações das retas tangentes à circunferência x2 + y2 - 2y -3 =0 e paralelas à reta r: y= 2x+1.​

Answer 1

Sendo as retas paralelas a $y=2x+1$, seus coeficientes angulares devem ser iguais, mudando apenas o coeficiente linear. Temos então que a equação dessas retas são do tipo $y=2x+k$, que podemos reescrever como $2x-y+k=0$.

Vamos desenvolver a equação da circunferência dada:

$x^2+y^2-2y-3=0$

$x^2+(y-1)^2-1-3=0$

$x^2+(y-1)^2-4=0$

$x^2+(y-1)^2=4$

Daí tiramos que a circunferência possui centro (0,1) e raio 2. Sendo tangente, a distância da reta ao centro da circunferência é igual ao raio da circunferência. A distância de uma reta $ax+by+c=0$ até um ponto $(x_p,y_p)$ é dada por:

$d=\frac{|ax_p+by_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Substituindo os valores a partir da reta $2x-y+k=0$ e do ponto (0,0), ficamos com:

$\frac{|2\cdot0+(-1)\cdot1+k|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=2$

$\frac{|k-1|}{\sqrt{5}}=2$

$|k-1|=2\sqrt{5}$

$k-1=\pm2\sqrt{5}$

$k=1\pm2\sqrt{5}$

Concluindo assim que $y=2x+1\pm2\sqrt{5}$ são as equações das retas desejadas. Segue em anexo o gráfico da circunferência e das retas.