Question

determine as equações das retas que passam por A(√2,0) e sai tangentes à circunferência de equação x2+y2=1.​

Answer 1

Uma reta de coeficiente angular $m$ e que passa pelo ponto $P(x_0,y_0)$ obedece à relação $y-y_0=m(x-x_0)$. Substituindo

$y-0=m(x-\sqrt{2})$

$y=mx-m\sqrt{2}$

$-mx+y+m\sqrt{2}=0$

Pela equação da circunferência, seu centro é o ponto (0,0) e ela possui raio 1. Perceba que, sendo tangente, a distância da reta ao centro da circunferência é igual ao raio da circunferência. A distância de uma reta $ax+by+c=0$ até um ponto $(x_p,y_p)$ é dada por:

$d=\frac{|ax_p+by_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Substituindo os valores a partir da reta $-mx+y+m\sqrt{2}$ e do ponto (0,0), ficamos com:

$\frac{|-m\cdot0+1\cdot0+m\sqrt{2}|}{\sqrt{(-m)^2+1^2}}=1$

$|-m\cdot0+1\cdot0+m\sqrt{2}|=\sqrt{(-m)^2+1^2}$

$|m\sqrt{2}|=\sqrt{m^2+1}$

$(|m\sqrt{2}|)^2=(\sqrt{m^2+1})^2$

$2m^2=m^2+1$

$m^2=1$

$m=\pm1$

Retornando à equação reduzida da reta, ficamos com:

$y=mx-m\sqrt{2}$

$y=m(x-\sqrt{2})$

$y=\pm(x-\sqrt{2})$

Segue em anexo o gráfico da circunferência e das retas.