Matemática, perguntado por pv8857301, 8 meses atrás

Determine as equações das parábolas seguintes:

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por PhillDays

$( \big( \Big( \bigg(\Bigg( a)\ x = (\dfrac{1}{4}) \cdot y^2 \Bigg)\bigg)\Big)\big))$

$( \big( \Big( \bigg(\Bigg( b)\ y = (\dfrac{1}{16}) \cdot x^2 \Bigg)\bigg)\Big)\big))$

$( \big( \Big( \bigg(\Bigg( c)\ y = (\dfrac{-1}{20}) \cdot x^2 \Bigg)\bigg)\Big)\big))$

__________________________________

Explicação passo-a-passo:__________✍

☺lá, Pv, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ ☔

❄ Confira abaixo a manipulação algébrica para encontrarmos nossa equação reduzida da parábola (tendo em vista que os vértices estão na origem) e após a resposta final confira alguns links para resumos sobre monômios e polinômios e distância entre dois pontos que acredito que te ajudarão a entender não só a resolução abaixo como também outros exercícios envolvendo este tipo de análise ✌

Vamos iniciar com o item B) para uma explicação mais completa e depois vamos analisar A) e C).

Ⓑ__________________________✍

❄ Temos que através de uma análise das distâncias entre um ponto P qualquer da parábola com o Foco e com a reta Diretriz, que serão iguais, podemos encontrar nossa equação da reta.

$\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\line(1,0){6}}\put(3,-3){\line(0,1){6}}\qbezier(0,2)(3,-2)(6,2)\put(3.01,0){\circle{0.07}}\put(3.01,0.6){\circle{0.07}}\put(3.01,-0.6){\circle{0.07}}\put(0,-0.6){\line(1,0){6}}\put(6.3,2.1){$f$}\put(6.2,0){$x$}\put(2.9,3.4){$y$}\put(6.13,-0.68){$D$}\put(2.5,0.5){$F$}\end{picture}$

(Esta imagem não é visualizável pelo App Brainly)

$\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\line(1,0){6}}\put(3,-3){\line(0,1){6}}\qbezier(0,2)(3,-2)(6,2)\put(3.01,0){\circle{0.07}}\put(3.01,0.6){\circle{0.07}}\put(3.01,-0.6){\circle{0.07}}\put(0,-0.6){\line(1,0){6}}\put(3.9,0.19){\circle{0.07}}\put(3.9,-0.59){\circle{0.07}}\put(6.2,0){$x$}\put(6.13,-0.68){$D$}\put(2.5,0.5){$F$}\put(3.8,0.4){$P$}\put(3.8,-1.1){$A$}\put(3.05,0.58){\line(2,-1){0.8}}\put(3.88,-0.6){\line(0,1){0.8}}\end{picture}$

(Esta imagem não é visualizável pelo App Brainly)

$F = (0, 4)\\\\P = (x, y)\\\\D = (x, -4)\\\\$

$d_{PF} = d_{PD}\\\\\\\sqrt{(x - 0)^{2} + (y - (-4))^{2}} = \sqrt{(x - x)^{2} + (y - 4)^{2}}\\\\\\\sqrt{(x - 0)^{2} + y^2 - 2 \cdot (-4) \cdot y + (-4)^2} = \sqrt{(0)^{2} + y + 2 \cdot (-4) \cdot y + (-4)^2}\\\\\\(x - 0)^{2} + \diagup\!\!\!\!y^2 - (-8) \cdot y + \diagup\!\!\!\!\!16 = \diagup\!\!\!\!y^2 + (-8) \cdot y + \diagup\!\!\!\!\!16\\\\\\(x - 0)^{2} - (-8) \cdot y = (-8) \cdot y\\\\\\(x - 0)^{2} = -16 \cdot y\\\\\\$

✋ Aqui vale uma pausa para uma observação. Temos que pelo eixo de simetria de nossa parábola ser não só paralelo ao eixo y mas também coincidente, nosso valor de x está sendo subtraído por zero, mas caso ambos os eixos não fossem coincidentes (ou seja, quando o vértice não está na origem) o valor subtraído não seria zero e portanto nossa equação não seria reduzida mas sim completa, com coeficientes a, b e c. ✋

$\boxed{y = (\dfrac{1}{16}) \cdot x^2}$ ✅

❄ Como já era de se esperar, nosso coeficiente a é positivo, o que resulta numa parábola de concavidade voltada para cima.

❄ Como já era esperado segundo a equação reduzida da parábola dada por

$\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & y = \dfrac{x^2}{2 \cdot d_{FD} } & \\ & & \\ \end{array}}$

✋Conhecendo o valor do coeficiente a de uma parábola qualquer podemos encontrar o valor da distância entre o Foco e a reta Diretriz e, sendo o vértice o ponto mediano desta distância, podemos também traçar ambos. ✋

Ⓐ__________________________✍

No exercício A, para visualizarmos melhor quem é função de quem, iremos rotacionar o plano cartesiano em 90 graus no sentido anti-horário de tal forma que agora o eixo das abscissas será o eixo y e o eixo das ordenadas será o eixo x.

$d_{PF} = d_{PD}\\\\\\\sqrt{(y - 0)^{2} + (x - 1)^{2}} = \sqrt{(y - y)^{2} + (x - (-1))^{2}}\\\\\\\ (y - 0)^{2} = 4 \cdot x\\\\\\$