Question

Determine as equações da reta r definida pelos pontos A (2,–1,4) e B= r1 ∩ r2, com:

r1: (x-1)/2 = (y-3)/4 = (z-1)/-2
r2: x = 3m
y = 1 + 2m
z = 2 + m

Answer 1

$\Bmatrix{A=(2;-1;4)\\B=r_1\cap r_2 =\text{[interseccao das duas retas]} \\\end$

temos
$r_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-1}{-2}\\\\r_2:\Bmatrix{x=3m\\y=1+2m\\z=2+m\end$

reescreendo a reta r1 na forma parametrica

$\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-1}{-2}=t\\\\\\\frac{x-1}{2} =t \to \boxed{x=2t+1}\\\\\ \frac{y-3}{4} = t\to\boxed{y=4t+3}\\\\\frac{z-1}{-2}=t\to\boxed{z=-2t+1}$

se o ponto B é quando r1 ∩ r2
então neste ponto os valores de x,y,z das duas retas são iguais
logo temos

$\Bmatrix{2t+1=3m\\\\4t+3=1+2m\\\\-2t+1=2+m\end$

resolvendo
somando a primeira equação com a terceira

$2=2+4m\\\\\boxed{m=0}$

quando m=0 a retas se interceptam

$B=r_2:\Bmatrix{x=3* 0= 0 \\\\y=1+2* 0= 1 \\\\z=2+ 0=2 \end$

B=(0;1;2)

A reta  passa por A e B
vetor diretor = V=B-A  

$V=(2;-1;4)-(0;1;2)\\\\V=(2;-2;2)$

equação da reta 's' que passa  por 'A' e tem vetor diretor 'V'

$\boxed{\boxed{r:(x;y;z)=(2;-1;4)+p\left( 2;-2;2 \right)}}$