Question

DETERMINE AS EQUAÇÕES ABAIXO AQUELA S QUE REPRESENTAM UMA CIRCUNFERÊNCIA
x^2+y^2-4x-6y-8=0
x^2+y^2+2x-4y+7=0
x^2+y^2+6x-10y+2=0
x^2+y^2+2xy-8x-10y+15=0
x^2+y^2+6x-10y+2=0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Amandacarvalho, que a resolução é simples, embora um pouquinho trabalhosa.
Pede-se para identificar, dentre as equações abaixo, aquelas que representam uma circunferência.

Antes veja que: para "conhecer" se uma equação dada é de uma circunferência, deveremos passar essa equação para a sua forma reduzida. E a forma reduzida da equação de uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r , é dada do seguinte modo:

(x-x₀)² + (y-y₀) = r²        . (I) <--- Vamos deixar guardada esta forma reduzida de representar a equação de uma circunferência, pois daqui a pouco iremos precisar dela.

Bem, visto isso, agora vamos ver, dentre as equações abaixo, quais são aquelas que representam uma circunferência.


a) x² + y² - 4x - 6y - 8 = 0 ----- vamos encontrar a forma reduzida desta equação. Para isso, deveremos formar os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles números que serão acrescidos em função da formação dos quadrados.
Vamos, primeiro, ordenar, ficando:

x² - 4x + y² - 6y - 8 = 0 ---- agora formamos os quadrados:
(x-2)² - 4 + (y-3)² - 9 - 8 = 0 ---- ordenando, teremos:
(x-2)² + (y-3)² - 4 - 9 - 8 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos;
(x-2)² + (y-3)² - 21 = 0
(x-2)² + (y-3)² = 21 ----- note que "21" que está no 2º membro, poderá ser substituído por: √(21)². Assim:

(x-2)² + (y-3)² = √(21)²  <--- Esta equação é de uma circunferência.

Assim, como você viu aí em cima, a equação do item "a" é uma equação de uma circunferência, cujo centro é: C(2; 3) e raio = √(21).
Compare a equação que acabamos de encontrar aí em, cima com aquela que deixamos lá na expressão (I) e você concluirá, da comparação feita, que se trata da equação de uma circunferência que tem centro em C(2; 3) e raio = √(21).


b) x² + y² + 2x - 4y + 7 = 0 ---- vamos ordenar para formar os quadrados, tendo o mesmo cuidado de subtrair aqueles números que serão acrescidos em função da formação dos quadrados:

x² + 2x + y² - 4y + 7 = 0 ----- formando os quadrados, teremos:
(x+1)² - 1 + (y-2)² - 4 + 7 = 0  ---- ordenando, teremos:
(x+1)² + (y-2)² - 1 - 4 + 7 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes:
(x+1)² + (y-2)² + 2 = 0
(x+1)² + (y-2)² = - 2 <--- Veja: NÃO é equação de circunferência.

Note que o raio teria que ser positivo. E "-2" NÃO é positivo. Por isso é que esta equação não é de uma circunferência. Se o número que ficasse no 2º membro fosse positivo, então a equação seria a de uma circunferência. Mas como o número que está no 2º membro é negativo, então somos obrigados a afirmar que a equação do item "b" NÃO representa uma circunferência.


c) x² + y² + 6x - 10y + 2 = 0 ----- vamos ordenar para formar os quadrados:

x² + 6x + y² - 10y + 2 = 0 ---- agora formaremos os quadrados,lembrando de subtrair aqueles números que forem acrescidos em função da formação dos quadrados. Assim:

(x+3)² - 9 + (y-5)² - 25 + 2 = 0 --- ordenando, teremos:
(x+3)² + (y-5)² - 9 - 25 + 2 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
(x+3)² + (y-5)² - 32 = 0
(x+3)² + (y-5)² = 32 ----- veja que "32" é a mesma coisa que √(32)². Logo:
(x+3)² + (y-5)² = √(32)² <---- Veja que a equação É de uma circunferência.

Note que a equação é de uma circunferência que tem centro em C(-3; 5) e raio = √(32). Faça a comparação da equação do item "c" com a equação lá da expressão (I) e note que, realmente, esta equação representa uma circunferência.


d) x² + y² + 2xy - 8x - 10y + 15 = 0 <-- Esta equação NÃO é de circunferência.

Note que você já poderá afirmar que a equação acima NÃO representa uma circunferência pois há o termo "2xy" que não faz parte dos elementos da equação de uma circunferência.


e) x² + y² + 6x - 10y + 2 = 0 <--- note que esta equação está repetida. Ela tem a mesma escrita da equação do item "c", que já vimos que é de uma circunferência.
Então não vamos fazer nada com esta equação, pois ela é idêntica (ou tem a mesma escrita) que a equação já vista no item "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.