Question

Determine as direções nas quais f(x,y) = (x²/2) + (y²/2):
a) Cresce mais rapidamente
b) Decresce mais rapidamente

Answer 1

Olá,

Antes de responder precisamos entender o que é o chamado vetor gradiente.

Vetor gradiente é um vetor onde suas componentes são as derivadas parciais da função. Componente ''x'' derivada parcial em relação a ''x'' e para a componente ''y'' é o mesmo raciocínio.

O vetor gradiente nos dá justamente o que se pede na letra A), ele aponta para onde a função cresce mais rapidamente.

A) Derivando parcialmente:

$\frac{df(x,y)}{dx}=x\\ \\\frac{df(x,y)}{dy}=y$

Como já temos as derivadas parciais, nosso vetor gradiente será:

∇=(x,y)

Em termos práticos isso nos mostra que quanto maior os valores de x e y, maior o módulo do nosso vetor gradiente e consequentemente maior a variação da função.

B) Seguindo o mesmo raciocínio da letra A), se queremos onde decresce mais rápido, basta inverter as componentes do vetor gradiente (onde  cresce mais rápido). Logo teremos o vetor que nos mostra onde o vetor decresce mais rápido.

∇=(-x,-y)