Question

Determine as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser inscrito na região
delimitada pela parábola
y2 = 4px e a reta x = a.

Answer 1

y² = 4px é uma parábola deitada com vertice na origem (prá esquerda , se p < 0 mas tanto faz, pois é simétrica)
x = a  é uma vertical , por "a"
Prá facilitar, vamos 'girar' essa parábola prá cima, usando a inversa de y.
x² = 4py ==>
y = x²/4p
e a reta que limita o retangulo
y = a
Assim fica mais familiar.
Dado um ponto b, a área do retangulo fica :
base : b (só a metade do retângulo, mas tanto faz, pois se a metade for máxima, o total tambem será)
altura : a - f(b)
Área : b(a - b²/4p) = -b²/4p + ba
A área depende do ponto b escolhido, pois os outros valores (p ; a) são constantes.
g(b) = -b²/4p + ba
tem valor máximo para b = a / 2(1/4p) (abcissa do vertice de G)
b = 2ap
----- se a questão envolver derivada, pode fazer, também
g'(b) = 0 ==>
-2b/4p + a = 0
b = 2ap
-------- é só um parenteses..
Area máxima : g(2ap)
= -(2ap)²/4p + (-2ap)a
= -3a²p
tomando o valor absoluto da área e multiplicando por 2(pois essa é só a metade)
A = 6a²p (resp)