Question

Determine, as dimensões do cilindro de maior volume que podemos inscrever
em uma esfera de raio 1.

Answer 1

Resposta:

Veja abaixo.

Explicação passo-a-passo:

Boa tarde! ^^

O cilindro inscrito em uma esfera é um cilindro equilátero, ou seja, a sua altura mede duas vezes o raio. Sabemos também que, como ele tangencia a esfera, o diâmetro da esfera é igual a diagonal do cilindro. Portanto podemos formar um triângulo retângulo dentro deste cilindro onde, a hipotenusa mede duas vezes o raio da esfera e os catetos medem, cada um, duas vezes o raio do cilindro. Pelo Teorema de Pitágoras podemos encontrar o valor do raio do cilindro.

$(2R)^2=(2r)^2+(2r)^2\rightarrow\textbf{onde R vale o raio da esfera e r vale o raio do cilindro}\\(2\cdot1)^2=4r^2+4r^2\\4=8r^2\\8r^2=4\\r^2=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\\r=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

E assim temos as dimensões do cilindro. Seu raio mede $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e a sua altura mede $\sqrt{2}$.

Se quiser o volume também agora é só aplicar a fórmula. O volume do cilindro é igual a área da base vezes a altura.

$Volume=\pi\cdot r^2\cdot h\\Volume=\pi\cdot \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2\cdot \sqrt2\\Volume=\pi\cdot \frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\\Volume=\frac{\sqrt2}{2}\pi$

Bons estudos!