Matemática, perguntado por jaquelina6, 4 meses atrás

Determine as dimensões de um retângulo de área equivalente a 100m de modo que o seu perímetro seja x mínimo ?

Soluções para a tarefa

Respondido por ComandoAlfa

⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre Aplicações de Derivadas, concluímos que o comprimento e a altura de um retângulo de área igual a 100 m² , com o menor perímetro possível, é 10 cm cada.

➜ Sejam $x$ e $y$ as dimensões do retângulo. A área $A$ do retângulo é

$A=xy=100 \ m \ \ \ ...,(1)$

O perímetro $P$ é $P=2x+2y$ . Da equação ( 1 ) , $y=\frac{100}{x}$ . Portanto o perímetro é

$P=2x+\dfrac{200}{x} \ \ \ ,...(2)$

Como o perímetro agora é uma função de uma varável apenas, um ponto de mínimo será um ponto em que a primeira derivada é igual a zero.

➜ Derivando $P$

$\dfrac{dP}{dx}=2-\dfrac{200}{x^2}$

➜ Igualando a derivada a zero

$\dfrac{200}{x^2}=2 \Longrightarrow x^2=100 \Longrightarrow x=-10 \vee x=10$

Como estamos trabalhando com medidas, a solução negativa é descartada. Ficamos com $x=10 \ cm$ .

➜ Se derivarmos a função perímetro de novo, teremos $\dfrac{d^2P}{dx^2}=\dfrac{200}{x^3}$ . E quando $x=10$ , $\dfrac{d^2P}{dx^2}=0,2$ , que é positivo. Assim, pelo teste da segunda derivada, temos um valor mínimo.