Question

Determine as dimensoes de um cilindro circular reto com o maior volume possivel que possa ser inscrito em uma esfera de raio 10cm.

Answer 1

As dimensões do cilindro para que tenha o maior volume é (10/3)√6 cm de raio e 10√3/3 cm de altura.

Sólidos geométricos

Figuras espaciais, ou sólidos, são figuras tridimensionais compostas por largura, comprimento e profundidade (altura).

O cilindro circular reto inscrito na esfera forma um triângulo retângulo entre seu raio e sua meia altura (catetos) com o raio da esfera (hipotenusa). Pelo teorema de Pitágoras, temos que:

R² = r² + h²

10² = r² + h²

h² = 100 - r²

h = (100 - r²)^(1/2)

Como o volume do cilindro é dado por V = πr²h, substituindo o valor de h:

V = πr²·√(100 - r²)

Para o volume máximo, devemos encontrar a derivada do volume e igualar a zero. Pela regra do produto:

dV/dr = 0

2πr·√(100 - r²) + πr²·(-r/√(100 - r²)) = 0

π·(2r√(100 - r²) - r³/√(100 - r²)) = 0

π·(-3r³ + 200x)/√(100 - r²) = 0

-3r³ + 200r = 0

r² = 200/3

r = 10√2/√3

r = (10/3)√6 cm

Logo, teremos:

h² = 100 - r²

h² = 100 - 200/3

h = 10√3/3 cm

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