Question

Determine as derivadas {x=a(cost+tsent)
{Y=a(sent-tcost)

Answer 1

A questão trata-se de derivadas em funções vetoriais, ou seja, que retornam vetores ao invés de valores. A derivada de uma função vetorial genérica f tal que

$f(t) = (f_1(t), f_2(t))$

Que pode ser escrita como:

$f(t) = (x,y) : \left \displaystyle\Big\{ {{x=f_1(t)} \atop {y =f_2(t)}} \right.$

A derivada de uma função assim será

$\dfrac{df}{dt}(t) = \left(\dfrac{df_1}{dt}(t), \dfrac{df_2}{dt}(t)\right)$

Ou, da outra forma,

$f'(t) = (x',y') : \left \displaystyle\Big\{ {{x'=f'_1(t)} \atop {y' =f'_2(t)}} \right.$

Tomando a função

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2$

A função definida parametricamente de acordo com

$f(t) = (x,y) : \left \displaystyle\Big\{ {{x=a(\cos(t)+t\sin(t))} \atop {y =a(\sin(t)-t\cos(t))}} \right.$

Supondo $a\in\mathbb{R}$ constante, calculamos a derivada de cada termo:

$\dfrac{dx}{dt} = a\left(\dfrac{d(\cos(t))}{dt} + \dfrac{d(t\sin(t))}{dt}\right)= a(-\sin(t)+\sin(t)+t\cos(t)) = at\cos(t)$

$\dfrac{dy}{dt}=a\left(\dfrac{d(\sin(t))}{dt}-\dfrac{d(t\cos(t))}{dt}\right) = a(\cos(t)-\cos(t)+t\sin(t))=at\sin(t)$

Portanto, a função vetorial terá derivada:

$f'(x) = (at\cos(t),\;at\sin(t))$