Question

Determine as derivadas parciais da função:z=(x^2-xy+y^2)^4

Answer 1

As derivadas parciais de primeira ordem da função f são:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{\partial f}{\partial x} = 4\left(2x-y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)^3\\ \\\frac{\partial f}{\partial y} = 4\left(2y-x\right)\left(x^2-xy+y^2\right)^3\end{gathered}$

Dado a função

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x,y) = \left(x^2-xy+y^2\right)^4\end{gathered}$

Queremos encontrar suas derivadas parciais, para isso temos que lembrar que quando estamos calculando a derivada parcial em relação a uma variável, a outra se comporta como uma constante.

Dessa forma, note que teremos que derivar funções compostas em cada termo, portanto vale lembrar da regra da cadeia para uma variável

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(g(x))' = g'(x)f'(g(x))\end{gathered}$

Na derivada parcial em x e tomando y como constante temos

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}u = x^2 - xy + y^2\\\Downarrow \\\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{dx}u \cdot \frac{d}{du}u^4\\ \\\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{dx}\left(x^2-xy+y^2\right) \cdot \frac{d}{du}u^4\\ \\\end{gathered}$

Para potências temos a seguinte regra de derivação

                                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{d}{dx} x^n = n\cdot x^{n -1}\end{gathered}$

Portanto

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{\partial f}{\partial x} = \underbrace{\frac{d}{dx}\left(x^2-xy+y^2\right)}_{2x-y} \cdot \underbrace{\frac{d}{du}u^4}_{4 u^3}\\ \\\end{gathered} }$

Desfazendo a substituição de u vamos obter a derivada parcial em relação a x

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{\partial f}{\partial x} = \left(2x-y\right) \cdot 4 u^3\\ \Downarrow \\\boxed{\frac{\partial f}{\partial x} = 4\left(2x-y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)^3}\end{gathered} }$

Agora fazemos o mesmo para y.

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}u = x^2 - xy + y^2\\\Downarrow \\\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{dy}u \cdot \frac{d}{du}u^4\\ \\\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{dy}\left(x^2-xy+y^2\right) \cdot \frac{d}{du}u^4\\ \\\end{gathered}$

O que implica

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{\partial f}{\partial y} = \underbrace{\frac{d}{dy}\left(x^2-xy+y^2\right)}_{2y-x} \cdot \underbrace{\frac{d}{du}u^4}_{4 u^3}\\ \\\end{gathered} }$

Por fim

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{\partial f}{\partial y} = \left(2y-x\right) \cdot 4 u^3\\ \Downarrow \\\boxed{\frac{\partial f}{\partial y} = 4\left(2y-x\right)\left(x^2-xy+y^2\right)^3}\end{gathered} }$

Logo as derivadas parciais são

   $\large\displaystyle\begin{gathered}\frac{\partial f}{\partial x} = 4\left(2x-y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)^3 \text{ e }\frac{\partial f}{\partial y} = 4\left(2y-x\right)\left(x^2-xy+y^2\right)^3\end{gathered}$

Espero ter ajudado

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