Question

Determine as coordenadas dos pontos A e B que dividem o segmento de extremos C(1,-2) e D(7,4) em três segmentos com comprimentos iguais.

Answer 1

Cálculos:

(X de D - X de C)^2 + (Y de D - Y de C)^2= (distância entre eles)^2

(7-1)^2 + (4-(-2))^2 = 36 + 36 = (distância entre eles)^2
72 = (distância entre eles)^2
6√2=distância entre eles.
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(6√2)/3 = distância entre os pontos divisores
2√2= distância entre os pontos divisores
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Aplica-se essa distância na equação da circunferência:

(X-Xo)^2 + (Y-Yo)^2 = d^2
(X-Xo)^2 + (Y-Yo)^2= (2√2)^2
(X-Xo)^2 + (Y-Yo)^2= 8
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Acha-se a equação da reta que passe pelos pontos:
-2= A+B
4= 7A+B
(deve-se subtrair a primeira equação da segunda)
6=6A
A=1
B=-3
Equação da reta: f(x)=x-3
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Deve-se substituir os Y na equação da circunferência, então, por x-3
(X-7)^2 + (Y-4)^2=8
(X-7)^2 + ((X-3)-4)^2 =8
2(X-7)^2=8
(X-7)^2=4
X^2-14X+49=4
X^2-14X+45=0
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Aplica-se Bhaskara
(-b±√(∆))/2A

X será, então, ou 9 ou 5.
Como ele não pode ter valor maior que o X do ponto D, ele é 5.
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Colocando na equação Y=X-3

Y=5-3
Y=2
Portanto, as coordenadas de um dos pontos (o mais próximo do ponto D) é (5,2)
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O outro ponto é determinado a partir de uma circunferência de raio 2√2 com centro em C
(X-Xo)^2 + (Y-Yo)^2= 8
(X-1)^2 + (Y-(-2))^2=8
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Substitui-se Y por X-3
(X-1)^2 + (X-3+2)^2=8
2(X-1)^2=8
(X-1)^2=4
X^2-2X+1=4
X^2-2X-3=0
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Aplica-se Bhaskara

Os valores resultantes serão 3 ou -1, mas como X não pode ter valor menor que o X de D, ele é igual a 3
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Por último, utiliza-se a equação Y=X-3

Y=3-3
Y=0

Então as coordenadas do segundo ponto divisor são (3,0)
e a do primeiro, (5,2)