Question

Determine as coordenadas dos eixos baricêntricos relativos aos eixos u e v peça 1 (fig1).Calcule os momentos de inércia relativos aos eixos baricêntricos. Medidas da peça 1 em cm.

Answer 1

O centro de massa da figura e seus momentos de inércia são:

      $\large\displaystyle\begin{aligned}CM_F&= (17{,}5, \ 25), \ I_x = 253333{,}\bar{3} \text{ cm}^4 \ \text{ e } \ I_y = 203333{,}\bar{3} \text{ cm}^4 \\ \\\end{aligned}$

Para calcular o centro de massa de uma figura composta, que nesse caso é composta por dois retângulos, podemo utilizar a seguinte equação:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}X_{CM} = \dfrac{\sum\limits_{i = 1}^{n} A_i \bar{x}_i}{{\sum\limits_{i = 1}^{n} A_i}}\ \text{ e } \ Y_{CM} = \dfrac{\sum\limits_{i = 1}^{n} A_i \bar{y}_i}{{\sum\limits_{i = 1}^{n} A_i}}\end{aligned} }$

No retângulo 1, mais a esquerda temos então

     $\Large\displaystyle\begin{aligned}\bar{x_1} &= 10\\ \\\bar{y_1} &= 25\\ \\CM_1 &= (10, \ 25)\\ \\A_2& = 1000\text{ cm}^2\end{aligned}$

Portanto, no retângulo 2, a direita:

     $\Large\displaystyle\begin{aligned}\bar{x_2} &= 30\\ \\\bar{y_2} &= 25\\ \\CM_2 &= (30, \ 25)\\ \\ A_2& = 600\text{ cm}^2\end{aligned}$

Logo, a coordenada x do centro de massa é

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}X_{CM} &= \dfrac{\sum\limits_{i = 1}^{2} A_i \bar{x}_i}{\sum\limits_{i = 1}^{2} A_i} \\ \\X_{CM} &= \dfrac{A_1 \bar{x}_1 +A_2 \bar{x}_2 }{A_1 + A_2} \\ \\X_{CM} &= \dfrac{1000\cdot 10 +600 \cdot 30 }{1000 + 600} \\ \\X_{CM} &= \dfrac{1000\cdot 10 +600 \cdot 30 }{1000 + 600} \\ \\X_{CM} &= \dfrac{10000+18000}{1600} \\ \\X_{CM} &= \dfrac{28000}{1600} \\ \\X_{CM} &= \dfrac{280}{16} \\ \\X_{CM} &= 17{,}5 \\ \\\end{aligned} }$

E as coordenadas em y são

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}Y_{CM} &= \dfrac{\sum\limits_{i = 1}^{2} A_i \bar{y}_i}{\sum\limits_{i = 1}^{2} A_i} \\ \\Y_{CM} &= \dfrac{A_1 \bar{y}_1 + A_2 \bar{y}_2}{A_1 + A_2 } \\ \\Y_{CM} &= \dfrac{1000\cdot 25 + 600 \cdot 25}{1600} \\ \\Y_{CM} &= 25\end{aligned} }$

O valor de Y poderia ser facilmento descoberto já que a figura é simétrica neste eixo.

Portanto o centro de massa dos retângulos, e da figura composta são

$\Large\displaystyle\begin{aligned}CM_1 &= (10, \ 25) \\ \\CM_2&= (30, \ 25) \\ \\CM_F&= (17{,}5, \ 25) \\ \\\end{aligned}$

Para calcular o momento de inércia podemos fazer de duas maneiras, calcular de cada retângulo e somar, ou calcular o do retângulo maior (50x40) e tirar o momento dos retângulos menores. Dito isso irei utilizar a primeira opção.

Sabemos que o momento de inércia de um retângulo em relação ao seu CM é dado por:

                                            $\Large\displaystyle\begin{aligned}I_x = \dfrac{bh^3}{12}\\ \\I_y = \dfrac{hb^3}{12}\\ \\\end{aligned}$

Como temos dois retângulos o momento de inércia será pela composição dos momentos de inércia, que é:

           $\Large\displaystyle\begin{aligned}I_x =\sum\limits^{n}_{i = 1} (\bar{I}_{x,i} + d_{y,i}^2A_i)\\ \\I_y =\sum\limits^{n}_{i = 1} (\bar{I}_{y, i} + d_{x,i}^2A_i)\end{aligned}$

Dito isso, vamos calcular para o eixo x:

           $\Large\displaystyle\begin{aligned}I_x &=\sum\limits^{n}_{i = 1} (\bar{I}_{x,i} + d_{y,i}^2A_i)\\ \\I_x &=\sum\limits^{2}_{i = 1} (\bar{I}_{x,i} + d_{y,i}^2A_i)\\ \\I_x &=(\bar{I}_{x, 1} + d_{y,1}^2A_1) + (\bar{I}_{x, 2} + d_{y,2}^2A_2) \\ \\I_x &=\dfrac{b_1h^3_1}{12}+\dfrac{b_2h^3_2}{12}\\ \\I_x &=\dfrac{20\cdot (50)^3}{12} +\dfrac{20\cdot (30)^3}{12}\\ \\I_x &= 253333{,}\bar{3} \text{ cm}^4\end{aligned}$

Note que a distância entre a coordenada y do centro de massa dos retângulos é igual ao centro de massa da figura, por isso alguns termos somem.

Agora para o eixo y:

           $\Large\displaystyle\begin{aligned}I_y &=\sum\limits^{n}_{i = 1} (\bar{I}_{y, i} + d_{x,i}^2A_i)\\ \\ I_y &=\sum\limits^{2}_{i = 1} (\bar{I}_{y, i} + d_{x,i}^2A_i)\\ \\ I_y &=(\bar{I}_{y, 1} + d_{x,1}^2A_1) + (\bar{I}_{y, 2} + d_{x, 2}^2A_2) \\ \\ I_y &=\dfrac{h_1b_1^3}{12}+ (7{,}5)^21000 + \dfrac{h_2b_2^3}{12} + (12{,}5)^2600 \\ \\ I_y &=\dfrac{50(20)^3}{12}+ (7{,}5)^21000 + \dfrac{30(20)^3}{12} + (12{,}5)^2600 \\ \\ I_y &= 203333{,}\bar{3} \text{ cm}^4\end{aligned}$

Portanto os momentos de inércia são:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}I_x = 253333{,}\bar{3} \text{ cm}^4 \ \text{ e } \ I_y = 203333{,}\bar{3} \text{ cm}^4\end{aligned}$

Espero ter ajudado

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