Question

Determine as coordenadas do vértice da parábola para cada uma das funções quadráticas:

a) f(x) = 3x² +1=

b) f(x) = -3x² + 2

c) f(x) = x²

d) f(x) = x² + 4x + 1
Me ajudem





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Answer 1

Sendo $f(x) = a.x^2+b.x + c$  uma função do 2º grau qualquer, podemos determinar as coordenadas dos vértice $V(X_V,Y_V)$  da seguinte forma ;

$\fbox{\displaystyle X_V = -\frac{b}{2.a} \ e \ Y_V = -\frac{\Delta }{4.a} }$

onde :

$X_V =$ x do vértice

$Y_V =$ y do vértice

$\Delta = b^2 - 4.a.c$

Sabendo disso vamos para a questão.

A questão pede as coordenadas do vértice de cada uma parábola, então vamos aplicar as relações acima e encontra-las :

item a

$\fbox{\displaystyle f(x) = 3x^2+1 }$

Perceba que a função quadrática está incompleta, mas podemos resolver isso escrevendo assim :

$\fbox{\displaystyle f(x) = 3x^2+0.x + 1 }$

portanto, nossos coeficientes são :

$a = 3 , \ b = 0, \ c = 1$

Achando o x do vértice :

$\fbox{\displaystyle X_V = - \frac{b}{2.a} }$ ⇒ $\fbox{\displaystyle X_V = - \frac{0}{2.3} \to X_V = 0 }$

Achando o y do vértice :

$\fbox{\displaystyle Y_V = -\frac{\Delta}{4.a} }$⇒ $\fbox{\displaystyle Y_V = -\frac{(0^2 -4.3.1)}{4.3} \to Y_V = - \frac{(-12)}{12} \to Y_V = 1 }$

Portanto as coordenadas do vértice são:

$\fbox{\displaystyle X_V =0 \ e \ Y_V = 1 }$

item b

$\fbox{\displaystyle f(x) = -3x^2+2 }$

A função está incompleta, vamos completa-la :

$\fbox{\displaystyle f(x) = -3x^2 + 0.x + 2 }$

Nossos coeficientes são :

$a = -3, \ b = 0, \ c = 2$

Achando o x do vértice:

$\fbox{\displaystyle X_V = - \frac{b}{2.a} \to X_V = -\frac{0}{2.-3} \to X_V = 0 }$

Achando o y do vértice:

$\fbox{\displaystyle Y_V = -\frac{\Delta}{4.a} \to Y_V = -\frac{(0^2 -4.(-3).2)}{4.(-3)} \to Y_V = - (\frac{12.2}{-12}) \to Y_V = 2 }$

Portanto as coordenadas do vértice são :

$\fbox{\displaystyle X_V = 0\ e \ Y_V = 2 }$

item c

$\fbox{\displaystyle f(x) = x^2 }$

Completando a função quadrática

$\fbox{\displaystyle f(x) = x^2 + 0.x + 0 }$

Nossos coeficientes são :

$a = 1, \ b = 0, \ c = 0$

Achando o x do vértice:

$\fbox{\displaystyle X_V = - \frac{b}{2.a} \to X_V = -\frac{0}{2.1} \to X_V = 0 }$

Achando o y do vértice:

$\fbox{\displaystyle Y_V = -\frac{\Delta}{4.a} \to Y_V = -\frac{(0^2 -4.0.1)}{4.1} \to Y_V = - (\frac{0}{4}) \to Y_V = 0 }$

Portanto as coordenadas do vértice são :

$\fbox{\displaystyle X_V = 0\ e \ Y_V = 0 }$

A letra d eu vou deixar para você tentar. Você vai usar a mesma fórmula/ ideia das anteriores.

Qualquer dúvida é só falar.