Question

Determine as coordenadas do vertice da parabola correspondente a cada função y=3x^2-4x

Answer 1

O vértice de uma parábola é sempre um máximo ou um mínimo da função.

Como tal, podemos usar a noção de derivada para o determinar.

Seja  $f(x)=3x^2-4x$  e  $f'(x)$  a função derivada de  $f(x)$ :

    $f'(x)=(3x^2-4x)'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=(3x^2)'-(4x)'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=2\times3x-4\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=6x-4$

    $f'(x)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow6x-4=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow6x=4\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\frac{4}{6}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}$

Os zeros da função derivada são máximos ou mínimos da função inicial.

 x     |$-\infty$      |   $\frac{2}{3}$  |     $+\infty$

f'(x)   |     -      |  0  |      +            Logo,  $x=\frac{2}{3}$   é mínimo da função f.

f(x)    |    $\searrow$     |min|      $\nearrow$  

    $f(\frac{2}{3})=3\times(\frac{2}{3})^2-4\times(\frac{2}{3})\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(\frac{2}{3})=3\times(\frac{2^2}{3^2})-\frac{8}{3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(\frac{2}{3})=3\times\frac{4}{9}-\frac{8}{3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(\frac{2}{3})=\frac{4\times3}{9}-\frac{8}{3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(\frac{2}{3})=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(\frac{2}{3})=-\frac{4}{3}$

Resposta: O vértice da parábola é no ponto  $(x\;;\;y)=(\frac{2}{3}\;;\;-\frac{4}{3})$