Question

Determine as coordenadas do vértice C de um triângulo ABC conhecendo-se os vértices A (− 5, − 4), B(3, 5) e o baricentro G (0, 1) desse triângulo.

Answer 1

Vamos encontrar a equacao de defina a reta AB:

A(-5,-4) e B(3,5) → y = ax + b

Para A: -4 = (-5)a + b

Para B: 5 = (3)a + b

Resolvendo o sistema, tem-se que: a= 9/8 e b = 13/8

Portanto, a equacao de reta que passa por A e por B eh: y = 9x/8 + 13/8

Agora, lembre-se de uma propriedade do baricentro (lugar geometrico que representa o encontro das alturas de um triangulo): o baricentro divide a altura do triangulo em partes de 1/3 e 2/3 da altura total (h).

Vamos calcular a parte que equivale 1/3 da altura total do triangulo por meio do calculo da distancia entre o ponto G (0,1) e reta AB (9x+8y+13=0)

Dp,r = ║9.0 + 8.1 + 13║/ 9² + 8² → Dp,r = 21/145

Agora, repare que Dp,r = (1/3)h e que h equivale a distancia do ponto C(xc,yc) ate a reta AB, isto eh, h = 3Dp,r

63/145 = ║9.xc + 8.yc + 13║/ 9² + 8² → 9xc + 8yc = 50, ou seja, C (xc, (50-9xc)/8)

Vamos achar a equacao da reta que passa por C e G:

Como a reta CG eh perpendicular a reta AB, o coeficiente da reta CG = -8/9 e como o ponto G esta sobre o eixo y na coordenada (0,1), b = 1

y = ax+b

y = -8/9x + 1

Portanto, podemos fazer um sistema de equacoes:

• yc = (50-9xc)/8
• y = -8/9x + 1

Assim, xc ≅ 22,23 e yc ≅ -18,76

∴ C(22,23 , -18,76)

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

As coordenadas do baricentro são dadas por:

$\sf x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}$

$\sf y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$

Assim:

• $\sf x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}$

$\sf 0=\dfrac{-5+3+x_C}{3}$

$\sf 0=\dfrac{x_C-2}{3}$

$\sf x_C-2=3\cdot0$

$\sf x_C-2=0$

$\sf \red{x_C=2}$

• $\sf y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$

$\sf 1=\dfrac{-4+5+y_C}{3}$

$\sf 1=\dfrac{y_C+1}{3}$

$\sf y_C+1=3\cdot1$

$\sf y_C+1=3$

$\sf y_C=3-1$

$\sf \red{y_C=2}$

Logo, $\sf C(2,2)$