Question

Determine as coordenadas do pontos P pertencente ao eixo das ordenadas que dista 13 unidades do ponto P (5,-3).

Answer 1

Se os pontos pertencem ao eixo das ordenadas (eixo $y$), então a abscissa do ponto é igual a zero. Os pontos procurados possuem esta forma

$P(0,y_{P})$, onde $x_{P}=0$.


A distância entre dois pontos $A\left(x_{A},y_{A} \right )$ e $B\left(x_{B},y_{B} \right )$ é dada pela fórmula

$d_{AB}=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A} \right )^{2}+\left(y_{B}-y_{A} \right )^{2}}$


Substituindo os valores, temos que a distância entre ponto $P\left(0,y_{P}\right)$ procurado e o ponto $\left(5,-3 \right )$ é

$d_{P;\left(5,-3 \right )}=\sqrt{\left(5-0 \right )^{2}+\left(-3-y_{P} \right )^{2}}\\ \\ 13=\sqrt{25+9+6y_{P}+y_{P}^{2}}\\ \\ 13=\sqrt{34+6y_{P}+y_P^{2}}\\ \\ 169=34+6y_{P}+y_P^{2}\\ \\ y_{P}^{2}+6y_{P}+34-169=0\\ \\ y_{P}^{2}+6y_{P}-135=0\\ \\ y_{P}^{2}+15y_{P}-9y_{P}-15 \cdot 9 = 0\\ \\ y_{P}\cdot \left(y_{P}+15 \right )-9\cdot \left(y_{P}+15 \right )=0\\ \\ \left(y_{P}+15 \right )\cdot \left(y_{P}-9 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} y_{P}+15=0&\text{ ou }&y_{P}-9=0\\ \\ y_{P}=-15&\text{ ou }&y_{P}=9\\ \end{array}$


Logo os pontos procurados são $P_{1}\left(0,-15\right)$ e $P_{2}\left(0,9\right)$.