Determine as coordenadas do ponto P situado sobre a curva (x-3)²+(y-6)²=20 que está a distância mínima do ponto (-2, -4).
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Circunferência => (x-3)²+(y-6)²
Centro da circunferência => (3,6)
Ponto => (-2,-4)
Primeiramente vamos calcular a reta que passa pelo ponto e pelo centro da circunferência.
Calculando:
M=Y2-Y1/X2-X1
M=-4-6/-2-3
M=-10/-5
M=2
Y-Yo=M(X-Xo)
Y-6=2(X-3)
Y-6=2X-6
Y=2X-6+6
Y=2X <= Equação da reta
Agora, vamos achar o ponto de intersecção entre a reta e a circunferência.
Reta => Y=2X
Circunferência => (x-3)²+(y-6)²
Substituindo:
(x-3)²+(y-6)²=20
(X-3)²+(2X-6)²=20
X²-6X+9+4X²-24X+36=20
5X²-30X+45-20=0
5X²-30X+25=0 (/5)
X²-6X+5=0
As raízes dessa equação serão: X'=1 e X''=5
-Como o problema está pedindo a distância mínima, devemos desprezar X''=5, pois esta abscissa é maior que X'=1.
Portanto, a abscissa mínima do ponto de intersecção entre a reta e a circunferência é: 1
Calculando a ordenada:
(x-3)²+(y-6)²=20
(1-3)²+(y-6)²=20
-2³+Y²-12Y+36-20=0
4+Y²-12Y+16=0
Y²-12Y+20=0
As raízes dessa equação serão: Y'=2 e Y''=10
-Como o problema está pedindo a distância mínima, devemos desprezar Y''=10, pois esta ordenada é maior que Y''=2
Ponto de intersecção entre a reta e a circunferência => (1,2)
A distância do ponto (-2,-4) até o ponto (1,2), será a resposta do problema.
Calculando a distância de um ponto até o outro:
D²=(X2-X1)²+(Y2-Y1)²
D²=(1-(-2))²+(2-(-4))²
D²=3²+6²
D²=9+36
D²=45
D=√45 <= Resposta
Centro da circunferência => (3,6)
Ponto => (-2,-4)
Primeiramente vamos calcular a reta que passa pelo ponto e pelo centro da circunferência.
Calculando:
M=Y2-Y1/X2-X1
M=-4-6/-2-3
M=-10/-5
M=2
Y-Yo=M(X-Xo)
Y-6=2(X-3)
Y-6=2X-6
Y=2X-6+6
Y=2X <= Equação da reta
Agora, vamos achar o ponto de intersecção entre a reta e a circunferência.
Reta => Y=2X
Circunferência => (x-3)²+(y-6)²
Substituindo:
(x-3)²+(y-6)²=20
(X-3)²+(2X-6)²=20
X²-6X+9+4X²-24X+36=20
5X²-30X+45-20=0
5X²-30X+25=0 (/5)
X²-6X+5=0
As raízes dessa equação serão: X'=1 e X''=5
-Como o problema está pedindo a distância mínima, devemos desprezar X''=5, pois esta abscissa é maior que X'=1.
Portanto, a abscissa mínima do ponto de intersecção entre a reta e a circunferência é: 1
Calculando a ordenada:
(x-3)²+(y-6)²=20
(1-3)²+(y-6)²=20
-2³+Y²-12Y+36-20=0
4+Y²-12Y+16=0
Y²-12Y+20=0
As raízes dessa equação serão: Y'=2 e Y''=10
-Como o problema está pedindo a distância mínima, devemos desprezar Y''=10, pois esta ordenada é maior que Y''=2
Ponto de intersecção entre a reta e a circunferência => (1,2)
A distância do ponto (-2,-4) até o ponto (1,2), será a resposta do problema.
Calculando a distância de um ponto até o outro:
D²=(X2-X1)²+(Y2-Y1)²
D²=(1-(-2))²+(2-(-4))²
D²=3²+6²
D²=9+36
D²=45
D=√45 <= Resposta
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