Question

determine as coordenadas do ponto p, pertencente ao eixo das abscissas, que dista 13 unidades do ponto q (-8,5) e 5 unidades do ponto r (0,3)

Answer 1

Para resolver esse problema, temos que utilizar a fórmula que mede a distância entre dois pontos quaisquer:

distânciaAB= √(xA-xB)²+(yA-yB)²

Há um detalhe muito importante no execício, que é quando ele diz que o ponto P pertence ao eixo das abcissas. Para pertencer ao eixo das abcissas, a coordenada y de P tem que ser necessariamente 0.

Vou anotar as coordenadas dos pontos Q, R e P, para facilitar mais adiante:

Q(-8,5) ---> x=-8 , y=5
R(0,3)  ---> x=0  , y=3
P(xP,0) --> x=xP , y=0

Sabendo que o ponto P dista 13 unidades do ponto Q, basta substituir esse valor no lugar da distância.

dPQ= √(xP-xQ)²+(yP-yQ)²
13= √(xP-(-8))²+(0-5)²
13= √(xP+8)²+(5)²
13= √(xP+8)²+25  -----> Vou elevar ao quadrado ambos os lados:
(13)²= (√(xP+8)²+25)²  ----> Assim, a raiz some
169= (xP+8)²+25  ----> Desenvolvendo o produto notável.
169= (xP+8)(xP+8)+25
169= xP²+8xP+8xP+64+25
169= xP²+16xP+64+25
xP²+16xP+64+25-169=0
xP²+16xP-80=0

a=1 , b=16 , c=-80

Δ= b²-4ac
Δ= (16)²-4(1)(-80)
Δ=256+320
Δ=576

xP= (-b+-√Δ)/2a
xP= (-(16)+-√576)/2(1)
xP= (-16+-24)/2

xP'= (-16+24)/2
xP'= 8/2
xP'= 4

xP''= (-16-24)/2
xP''= -40/2
xP''= -20

A coordenada x do ponto P dista 13 unidades de Q ao ser 4 ou -20.

Agora vamos fazer o mesmo processo para encontrar qual coordenada faz com que P fique a 5 unidades de R.

dPR= √(xP-xR)²+(yP-yR)²
5= √(xP-0)²+(0-3)²
5= √(xP)²+(-3)²
5= √xP²+9 ------> Vou elevar ao quadrado ambos os lados da equação.
(5)²= (√xP²+9)²
25= xP²+9
25-9= xP²
xP²= 16
xP= +-√16

xP'= 4

xP''= -4

Ou seja, se a coordenada x de P for tanto 4 como -4, ele ficará a 5 unidades do ponto R.

Agora, para determinamos a resposta do problema, note que o 4 apareceu na solução de ambas as equações de segundo grau. Portanto é o 4 que satisfaz as duas equações ao mesmo tempo.

Então, concluimos que xP=4 e yP=0 ----->  P(4,0)


Se quiser tirar a prova:


dPQ= √(xP-xQ)²+(yP-yQ)²
dPQ= √(4-(-8))²+(0-5)²
dPQ= √(4+8)²+(-5)²
dPQ= √(12)²+25
dPQ= √144+25
dPQ= √169
dPQ= 13

Assim como dito no exercício, a distância entre P e Q é de 13 unidades.

dPR= √(xP-xR)²+(yP-yR)²
dPR= √(4-0)²+(0-3)²
dPR= √(4)²+(-3)²
dPR= √16+9
dPR= √25
dPR= 5

Também, assim como dito no exercício, a distância entre P e R mede 5 unidades.