Question

Determine as coordenadas do foco, do vértice,o grafico e a equação da reta diretriz das parábolas das equações abaixo:
a) 2x² + 8x - 6y + 2 = 0
b) y² + 10x - 5y + 3 = 0

Answer 1

a) 2x² + 8x - 6y + 2 = 0

Primeiramente, vamos reduzir essa equação para a forma reduzida. Para isso, vamos usar o método de completar quadrados.

2x²+8x-6y+2=0 (/2)
x²+4x-3y+1=0
x²+4x+2²=3y-1+2²
x²+4x+4=3y-1+4
x²+4x+4=3y+3
(x+2)²=3(y+1)

Vértice (-2,-1)

Como o domínio desta parábola é dado por X, logo, a abscissa do foco e da reta diretriz também serão as mesmas que a do vértice.Portanto;

Vértice (-2,-1)
Foco(-2,Y)
Diretriz(-2,Y)

Já encontramos o vértice da parábola. Agora, para encontrarmos a ordenada do foco e da reta diretriz, devemos possuir o parâmetro dessa parábola, para assim, encontrarmos os valores de ambos.

2p=3
p=3/2
Parâmetro=3/2

Note que, a metade do parâmetro é a distância do vértice até o foco ou até a diretriz 

Logo, P/2=C => C=(3/2)/2 => C=3/4; Onde 'C' representa o eixo de simetria 

Calculando a reta diretriz e o foco através da fórmula da distância:

C²=(XV-XF)²+(YV-YF)²
(3/4)²=(-2-(-2))²+(-1-YF)²
9/16=YF²+2YF+1
YF²+2YF+1-9/16=0
YF²+2YF+7/17=0

1) Calculando o Δ da equação completa:

Δ = b² - 4.a.c 
Δ = 2² - 4 . 1 . (7/16)
Δ = 4 - 4. 1 . (7/16) 
Δ = 9/14

Há 2 raízes reais

2) Aplicando Bhaskara:

Y = (-b +- √Δ)/2a
Y' = (-2 + √9/4)/2.1
Y' = (-1/2) / 2
Y' = -1/4

Y'' = (-2 - √9/4)/2.1
Y' = -13/4 / 2
Y'' = - 7/4

Encontramos dois valores possíveis para Y, um é ordenada do foco e o outro é a ordenada da diretriz. Agora vamos deduzir quem é quem.

Perceba que a equação da parábola na forma reduzida tem como variável dominante o X ( (x+2)²=3(y+1)); além disso, o valor do parâmetro está positivo (+3/2), logo, esta parábola está com a concavidade voltada para cima

Diante disso, sabemos que o foco SEMPRE estará dentro da concavidade da parábola, e a diretriz sempre do lado oposto da concavidade. Sabendo disso, o maior valor positivo será o foco da nossa parábola, e o menor, a diretriz.

-1/4>- 7/4, portanto, Fy=-1/4 e Dy=-7/4

Concluindo::

Vértice => (-2,-1)
Foco(-2,-1/4)
Reta diretriz: Y=-7/4

b) y² + 10x - 5y + 3 = 0

-Vou aplicar os mesmo passos anteriores para resolver a letra b)

y²+10x-5y+3=0
y²-5y-(5/2)²=10x-3+(5/2)²
y²-5y+25/4=10x-3+25/4
(Y-5/2)²=10X-13/4
(Y-5/2)²=10(X+13/40)

Vértice (-13/40,5/2)
Foco (X,5/2)
Diretriz (X,5/2)

2P=10
P=10/2
P=5

P/2=C
C=5/2

C²=(XF-XV)²+(YF-YV)²
(5/2)²=(X+13/40)²+(5/2-5/2)²
25/4=X²+26/40X+169/1600
X²+26/40X-9831/1600=0

As raízes dessa equação serão:

XF'=87/40 e XD''=-113/40

Logo;

Vértice (-13/40,5/2)
Foco (87/40,5/2)
Diretriz: X=-113/40

* OS GRÁFICOS DAS DUAS PARÁBOLAS ESTÃO NAS IMAGENS ABAIXO.