Question

Determine as coordenadas do foco, as coordenadas do vértice e a equação diretriz das seguintes parábolas:
c) 4y2+ 40y – 2x + 101 = 0

Answer 1

Boa tarde Allanbismar!

Solução

Cônicas

Sendo a parábola de equação:

$4y^{2}+40y-2x+101=0$

Para resolve-la vamos dividir todos os membros por 4.

$\dfrac{4y^2}{4} + \dfrac{40y}{4}- \dfrac{2x}{4} +\dfrac{101}{4}=0$

Agora vamos simplificar cada termo quando possível.

$y^{2}+10y- \dfrac{x}{2}+ \dfrac{101}{4}=0$

Nesse momento vamos separar os termos com com variáveis diferentes.

$y^{2}+10y= \dfrac{x}{2}-\dfrac{101}{4}$

Lembrando que para resolver esse exercício tem que lembrar do método de completar os quadrado equação do segundo grau.

Quando se completa um quadrado temos que adicionar o número do outro lado também.
Aqui esta a soma de um quadrado perfeito para fazer uma comparação.

$(a+b)^{2}=a^{2}+2bx+b^{2}$

$y^{2} +10y+(5)^{2}= \dfrac{x}{2}-\dfrac{101}{4}+(5)^{2}$

$y^{2} +10y+25= \dfrac{x}{2}-\dfrac{101}{4}+25$

Agora vamos fazer o MMC do lado direito.

$y^{2} +10y+25= \dfrac{x}{4}- \dfrac{101+100}{4}$

$y^{2} +10y+25= \dfrac{x}{4}- \dfrac{1}{4}$

Reescrevendo o lado direito em forma de um quadrado perfeito e colocando 1/2 em evidencia vamos encontrar o vértice da parábola.

$(y+5)^{2}= \dfrac{1}{2}(x- \dfrac{1}{2} )$

Escrever o vértice da parábola com sinais trocados.

$V\left ( \dfrac{1}{2},-5 \right )$

Vamos escrever a equação da parábola na sua forma algébrica.

$(y-y_{v})^{2}=4p(x-x_{v})$

Comparando com a equação logo.

$4p= \dfrac{1}{2} \rightarrow~~p= \dfrac{1}{ \dfrac{2}{4} } \rightarrow~~p= \dfrac{1}{8}$

O foco e a diretriz da parabola é dada pelas formulas.

$F( x_{v} +p,y_{v})$

$F\left ( \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{8},-5 \right )$

$F\left ( \dfrac{4+1}{8},-5 \right )$

$F\left ( \dfrac{5}{8},-5 \right )$

$Diretriz \rightarrow x= x_{v}-p$

$Diretriz \rightarrow x= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{8}$

$Diretriz \rightarrow x= \dfrac{4-1}{8}$

$Diretriz \rightarrow x= \dfrac{3}{8}$

$\boxed{\boxed{Resposta: F\left ( \dfrac{5}{8},-5 \right)~~ Diretriz \rightarrow x= \dfrac{3}{8} }}$

Boa tarde!
Bons estudos!