Question

Determine as coordenadas do circuncentro C do triangulo de vértice P(0,5), Q(3,6) e R(8,1)

Gabarito = C(3,1)​

Answer 1

• O circuncentro de um triângulo é o centro da circunferência que passa pelos seus vértices. Calculando a distância de cada ponto (P,Q e R) ao centro  $\sf C(X_c,Y_c)$ da circunferência, Temos:

• $\sf \displaystyle PC=\sqrt{(X_c-0)^2+(Y_c-5)^2}=\sqrt{X^2_c+Y^2_c-10y_c+25}$

• $\sf QC=\sqrt{(X_c-3)^2+(Y_c-6)^2}=\sqrt{X^2_c+Y^2_c-6x_c-12y_c+45}$

• $\sf RC=\sqrt{(X_c-8)^2+(Y_c-1)^2}=\sqrt{X^2_c+Y^2_c-16x_c-2y_c+65}$

Lembre que a medida do raio da circunferência é dada por $\sf r=PC=QC=RC$. Assim, escrevemos e resolvemos o seguinte sistema.

$\sf \begin{cases}\sf PC=QC\Rightarrow\\\\\sf PC=RC\Rightarrow\end{cases}\sf \begin{cases}\sf \sqrt{X^2_c+Y^2_c-10y_c+25} \\\\\sf\sqrt{X^2_c+Y^2_c-10y_c+25} \end{cases}=\sqrt{X^2_c+Y^2_c-6x_c-12y_c+45}~(I)\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sqrt{X^2_c+Y^2_c-6x_c-12y_c+45}~(II)$

• Elevando os membros I e II ao quadrado, temos:

$\sf \begin{cases}\sf X^2_c+Y^2_c-10y_c+25=X^2_c+Y^2_c-6x_c-12y_c+45 \\\\\sf X^2_c+Y^2_c-10y_c+25=X^2_c+Y^2_c-6x_c-12y_c+45 \end{cases}\Rightarrow\\\\\\\\\sf \Rightarrow \begin{cases}\sf 6x_c-2y_c=20\cdot(4) \\\\\sf 16x_c-8y=40 \end{cases} \underline{ \begin{cases}\sf 24x_c+8y_c=80 \\\\\sf16x_c-8y_c=40 \end{cases}}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~40x_c=120\Rightarrow x_c=3$

• Substituindo $\sf x_c$ por 3na equação $\sf 6x_c+2y_c=20$ :

$\sf 6\cdot3+2y_c=20\Rightarrow 2y_c=2\Rightarrow y_c=1$

• Portanto, as coordenadas do circuncentro do $\sf \Delta PQR$$\sf \Delta PQR$ São C(3,1)

$\boxed{\sf S=\{ C(3,1)\}}$

• Caso tenha dado bug veja pelo site >>> https://brainly.com.br/tarefa/41291643
• Ou veja o anexo da resposta