Determine as coordenadas do centro e o raio dessa circunferência C: x² + y² – 10x – 2y + 17 = 0.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Coordenadas do centro ( 5 ; 1 )
Valor do raio é 3.
Explicação passo-a-passo:
Enunciado:
Determine as coordenadas do centro e o raio dessa circunferência
C: x² + y² – 10x – 2y + 17 = 0.
Resolução:
Para encontrar os valores pedidos, vamos passar da Equação Geral da Circunferência, que está no enunciado, para a Equação Reduzida da Circunferência.
Esta é do tipo:
( x - a )² + ( y - b )² = r²
Onde ( a ; b ) são as coordenadas do centro da circunferência, e "r" é o raio da mesma circunferência.
Para fazer esta mudança vai necessitar de saber o que é " completar um quadrado".
Este quadrado perfeito tem a ver com o produto notável, que é :
o "quadrado da soma" ou " quadrado da diferença".
C: x² + y² – 10x – 2y + 17 = 0
Cálculos auxiliares:
Agora vou apenas centrar minha atenção em completar o quadrado partindo de dados do enunciado. Vejamos.
Com x² - 10x + ..... quero completar este espaço para que me apareça
( x - .... )² .
Aqui começa a estar o início deste processo
Em x² - 10x + ..... , neste espaço vazio vou acrescentar " metade do coeficiente do termo em x , elevado ao quadrado."
Fica pois:
x² - 10x + = x² - 10x + 5² = ( x - 5 )²
Está completado este quadrado
O outro fica:
y² - 2y + .... = y² - 2y + = ( x - 1 )²
Também este.
Uma questão muito importante.
O sinal do termo em "y" , o " - 2y " , este sinal vai-se repetir na fase final de completar o quadrado ( y - 1 )².
Se for " + " o sinal também se repete no fim.
Continuando , temos
( x - 5 )² + ( y - 1 )² = - 17 + 5² + 1²
Acrescentei no segundo membro da equação o que adicionei no primeiro.
Assim mantenho a equação dada, sem a transformar noutra.
( x - 5 )² + ( y - 1 )² = - 17 + 26
( x - 5 )² + ( y - 1 )² = 9
( x - 5 )² + ( y - 1 )² = 3²
Coordenadas do centro ( 5 ; 1 )
Valor do raio é 3.
Bom estudo.
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Nas respostas que dou, quase na totalidade, procuro não só efetuar os cálculos, mas também explicar o porquê de como e porque se fazem de determinada maneira.
Se quer ver apenas os cálculos, eles estão aqui.
Se quer aprender como se faz, nas respostas que dou, eu ensino .