Question

Determine as coordenadas do Centro e a medida do raio da circunferência: 2x² + 2y² +16x -32y +134 =0

Answer 1

Equação geral  da circunferência:

$(x-x_o)^{2}+(y-y_o)^{2}=r^{2}$

Onde:

$x_o$ ⇒ Coordenada x do centro.
$y_o$ ⇒ Coordenada y do centro.
r ⇒ Raio da circunferência.

Abrindo a equação ficamos com:

$(x^{2}-2.x.x_0+(x_o)^{2})+(y^{2}-2.y.y_o+(y_o)^{2})=r^{2}\\ \\x^{2}-2x.x_o+(x_o)^{2}+y^{2}-2y.y_o+(y_o)^{2}=r^{2}$

Vamos organizar:

$x^{2}+y^{2}-2x.x_o-2y.y_o+(x_o)^{2}+(y_o)^{2}-r^2=0$

O enunciado nos deu o seguinte:

$2x^2+2y^{2}+16x-32y+134=0$

Perceba que todos os números presentes são pares, assim, podemos dividir toda a equação por 2 e ficamos com o seguinte:

$x^2+y^2+8x-16y+67=0$

Comparando as partes da equação geral com as da equação simplificada chegamos ao seguinte:

Partes que contém x

$-2x.x_o=8x\\ \\x_o=\frac{8x}{-2x}\\ \\x_o=-4$

Partes que contém y

$-2y.y_o=-16y\\ \\y_o=\frac{-16y}{-2y}\\ \\y_o=8$

Partes que não contém variáveis, ou seja, x ou y.

$(x_o)^{2}+(y_o)^{2}-r^{2}=67\\ \\(-4)^{2}+8^{2}-r^2=67\\ \\16+64-r^2=67\\ \\r^2=16+64-67\\ \\r^2=13\\ \\r=\sqrt{13}$

Assim, ficamos com:

Coordenadas do centro ⇒ (-4,8)

Raio da circunferência ⇒ $\sqrt{13}$