Question

Determine as coordenadas do centro e a medida do raio a circunferência:
x2 + y2 + 8x - 16y + 67 = 0​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{O~centro~tem~coordenadas~(-4,~8)~e~o~raio~mede~\sqrt{13}.}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Utilizaremos o método de completar quadrados para encontrar a equação reduzida da circunferência.

Este método consiste em adicionar um número que o seu quadrado seja capaz de tornar a expressão um trinômio quadrado perfeito.

Devemos sempre prestar atenção nos coeficientes dos termos $x$ e $y$, pois geralmente $x^2$ e $y^2$ vêm acompanhados somente do coeficiente 1. (Salvo algumas exceções).

A maneira é simples: Olhamos os coeficientes dos termos $x$ e $y$, dividimos eles por 2. Elevamos estes números ao quadrado e somamos em ambos os lados da equação.

Vamos para a prática:

Dada a circunferência de equação $x^2+y^2+8x-16y+67=0$

Como podemos ver, dividindo 8 por 2, encontramos $4$, enquanto ao dividirmos -16 por 2, encontramos -8.

Elevando estes números ao quadrado, temos:

$4^2=16$ e $(-8)^2=64$

Some esses números em ambos os lados da equação

$x^2+y^2+8x-16y+67+16+64=16+64$

Reorganize os termos

$x^2+8x+16+y^2-16y+64+67=80$

Subtraia 67 de ambos os lados da equação

$x^2+8x+16+y^2-16y+64+67-67=80-67\\\\\\ x^2+8x+16+y^2-16y+64=13$

Por fim, fatore os trinômios quadrados perfeitos

$(x+4)^2+(y-8)^2=13$

Comparando a equação reduzida acima com a equação reduzida de uma circunferência com centro em $(x_c, ~y_c)$ e raio $R$, temos

$\begin{cases} (x+4)^2+(y-8)^2=13\\ (x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2\\\end{cases}$

Encontramos assim os valores que buscávamos.

O centro tem coordenadas $(-4, 8)$ e o raio mede $\sqrt{13}$.