Question

Determine as coordenadas do 3° vértice de um triângulo equilátero, sabendo que os outros dois têm coordenadas (1,2) e (1,7).

Answer 1

Resposta:

$A(\frac{2+\sqrt{3} }{2},\frac{9}{2})~~ou\\\\A(\frac{2-5\sqrt{3} }{2},\frac{9}{2})$

Explicação passo a passo:

Seja A(x, y) o outro ponto.

B(1, 2) e C(1, 7)

$d^2_A_B =((1-1)^2+ (7-2)^2=5^2=25\\\\(x-1)^2+(y-2)^2=(x-1)^2+(y-7)^2\\\\(y-2)^2=(y-7)^2\\\\y-2=y-7\implies-2=-7~(impos.)ou\\\\y-2=-y+7\\\\2y=7+2\\\\y=\frac{9}{2} \\\\(x-1)^2+(\frac{9}{2}-7)^2=25\\\\(x-1)^2 +(-\frac{5}{2})^2=25\\\\(x-1)^2+\frac{25}{4} =25\\\\(x-1)^2=25-\frac{25}{4}\\\\(x-1)^2=\frac{75}{4} \\\\x-1=\frac{\pm5\sqrt{3} }{4} \\\\x=1\pm\frac{5\sqrt{3} }{2} \\\\x=\frac{2+5\sqrt{3} }{2} oux=\frac{2-5\sqrt{3} }{2}$

Answer 2

As coordenadas do 3º vértice são (1 + (5/2)·√3, 9/2) ou (1 - (5/2)·√3, 9/2).

Distância entre pontos

• Os pontos são dados por coordenadas na forma (x, y);
• A distância entre dois pontos pode ser calculada pela fórmula d² = (xB - xA)² + (yB - yA)².

Seja A(x, y), B(1, 2) e C(1, 7) os vértices desse triângulo, como ele é equilátero, sabemos que a distância entre dois vértices é sempre igual, logo:

d² = (1 - 1)² + (7 - 2)²

d² = 25

d = 5

Logo, as distâncias entre A e B e A e C devem ser iguais a 5:

5² = (x - 1)² + (y - 2)²

5² = (x - 1)² + (y - 7)²

Igualando:

(x - 1)² + (y - 2)² = (x - 1)² + (y - 7)²

y² - 4y + 4 = y² - 14y + 49

14y - 4y = 49 - 4

10y = 45

y = 9/2

Calculando x:

5² = (x - 1)² + (9/2 - 2)²

25 = x² - 2x + 1 + 25/4

x² - 2x - 71/4 = 0

Calculando as raízes, obtemos x' = 1 + (5/2)·√3 e x'' = 1 - (5/2)·√3.

Leia mais sobre distância entre pontos em:

https://brainly.com.br/tarefa/27124830

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